Risposta libera: differenze tra le versioni

Versione delle 20:45, 21 nov 2008

Versione delle 12:59, 24 gen 2011

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dove <math>\alpha_i(0)</math> è il prodotto della riga i-esima della matrice <math>P^{-1}</math> per lo stato iniziale x(0).

Sviluppando i [[prodotto matriciale|prodotti matriciali]] si ottiene :

<math>x_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i</math>

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i</math> viene detta '''modo aperiodico''' i-esimo . Un modo si dice '''eccitato''' se compare nella risposta libera nello stato.

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi.

In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i</math> allora si ha :

<math>P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c}

Riga 46:

\end{array}\right)</math>

e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato. Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>

Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]]

Riga 60:

M\cos\beta\\

\end{array}\right)</math>

si ha :

<math>x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc}