Controllo ottimo: differenze tra le versioni
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==Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni di trasversalità==
Detto problema di minimo vincolato può essere risolto mediante tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, grazie ai quali viene ricondotto ad un problema equivalente di minimo non vincolato, pagando il prezzo dell'aumento delle dimensioni dello stesso.
::<math> \min J = \beta(x_f, t_f) + \int_{t_0}^{t_f} f_0(x, u) + \lambda^{T} \, [ f(x, u) - \dot{x} ] \; d\tau </math>
con <math>\lambda</math> vettore di funzioni <math>\lambda(t)</math>, moltiplicatori di Lagrange da determinare.
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Esiste un estremale della funzione <math>J</math> se la variazione prima <math>\Delta J = 0</math>.
::<math>\Delta J = \left( \frac{\partial \beta}{\partial x_f} \right)^T \Delta x_f \,+\, \frac{\partial \beta}{\partial t_f} \Delta t_f \,+\, (H_f - \lambda_f^T \dot{x}_f) \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial x} \right)^T \delta x + \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda}\right)^T \delta \lambda - \dot{x}^T \delta \lambda - \lambda^T \delta \dot{x} \right] \, d \tau </math>
::<math>\Delta J = \left( \frac{\partial \beta}{\partial x_f} \right)^T \, \Delta x_f + </math>▼
Si consideri il termine <math>\int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau </math>; integrando per parti e tenendo presente che <math>\Delta x_f = \delta x_f + \dot{x}_f \Delta t_f </math> e che <math>\delta x_0 = 0</math> essendo lo stato iniziale fissato, si ottiene:
::<math> \int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau = -\lambda_f^T \Delta x_f + \lambda_f^T \dot{x}_f \Delta t_f + \int_{t_0}^{t_f} \dot{\lambda}^T \delta x\, d\tau</math>
Sostituendo in <math>\Delta J</math> e raccogliendo opportunamente:
::<math>\Delta J = \left[ \frac{\partial \beta}{\partial x_f} - \lambda_f\right]^T \Delta x_f \,+\, \left[ \frac{\partial \beta}{\partial t_f} + H_f \right] \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda} - \dot{x} \right)^T \delta \lambda \,+\, \left( \frac{\partial H}{\partial x} + \dot{\lambda} \right)^T \delta x \right] \; d\tau</math>.
Il differenziale primo <math>\Delta J </math> è nullo se sono pari a zero tutte le variazioni. Si trovano, quindi, le '''equazioni di Eulero Lagrange'''
::<math>\frac{\partial H}{\partial u} = 0</math>
::<math>\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}</math>
::<math>\dot{\lambda} = - \frac{\partial H}{\partial x}</math>
e le '''condizioni di trasversalità'''
▲::<math>\
::<math>H_f = -\frac{\partial \beta}{\partial t_f}</math>.
Il problema di ottimo si risolve perciò imponendo le equazioni soprascritte con le cosiddette condizioni di trasversalità che fanno
le veci di condizioni al contorno.
In base al fatto di avere stato finale <math>x_f</math> e tempo finale <math>t_f</math> liberi o fissati, si propongono quattro diversi problemi di ottimo.
==Controllo LQR==
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