Processo stocastico: differenze tra le versioni

Versione delle 08:36, 13 ago 2009

Versione delle 13:24, 1 set 2009

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{{S|matematica}}

In [[teoria della probabilità]] un '''processo stocastico''' (o '''processo aleatorio''') è unala generalizzazioneversione dell'ideaprobabilistica del concetto di [[variabilesistema casualedinamico]]. eIn puògenere, euristicamenteè esserepossibile interpretatoidentificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di [[variabili casuali]] reali <math>S_t</math>, rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo <math>t</math>. In termini più precisi, un processo stocastico è una variabile casuale che prenda valori in spazi più generali dei [[numero reale|numeri reali]] (come ad esempio, <math> \R^n </math> , o [[spazio funzionale|spazi funzionali]], o [[successione (matematica)|successioni]] di numeri reali). Pertanto, è in genere possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali. Supponiamo ad esempio di voler modellizzare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{X_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore della variabile tempo <math> t </math>, <math> X_t</math> è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>.

== Esempio introduttivo ==

Supponiamo di voler modellizzare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore della variabile tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se decidiamo di definire <math>S_t</math> in maniera differenziale tramite l'equazione

:<math>dS_t=-S_t dt + dW_t,</math>

allora <math>(S_t)_t</math> definisce il [[processo di Ornstein–Uhlenbeck]].

== Concetti e definizioni ==

Le situazioni descritte dalle variabili casuali sono dette [[stato di sistema|stati del sistema]] e vengono indicati per esempio con S<sub>0</submath>S_0, S₁S_1, S₂S_2, S<sub>3\ldots</submath>,...

Se l'insieme <math>T=\{t<sub>it_i\}</submath>} è continuo, allora si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" e analogamente, se <math>T</math> è discreto, si parla di processo stocastico "discreto nel tempo". In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

Se la variabile casuale è [[variabile casuale discreta|discreta]] allora si parla di "[[processo stocastico discreto]]", se invece è una [[variabile casuale continua|v.c. continua]] allora si parla di "[[processo stocastico continuo]]" (sottinteso "nello spazio degli eventi").