Numero irrazionale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:16, 15 set 2009

Versione delle 04:37, 23 set 2009

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L'introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune.

Alcuni numeri irrazionali sono [[numero algebrico|numeri algebrici]] come <math>\sqrt{2}</math> (la [[radice quadrata]] di [[due]]) e <math>\sqrt[3]{5}</math> (la radice cubica di 5); altri sono [[numero trascendente|numeri trascendenti]] come [[Pi greco|&pi;π]] ed [[E (costante matematica)|e]].

== Cenni storici ==

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Un altro modo di costruire numeri irrazionali è come [[numero algebrico|numeri algebrici]] irrazionali, cioè zeri di [[polinomio|polinomi]] a coefficienti interi: iniziamo con un'equazione polinomiale:

:''p''(''x'') = ''a_n xⁿ'' + ''a''_''n''-1 ''x''^{''n''&minus;1−1} + ... + ''a''₁ ''x'' + ''a''₀ = 0

dove i coefficienti ''a''_''i'' sono interi. Supponiamo di sapere che esistono numeri reali ''x'' tali che ''p''(''x'') = 0 (per esempio se il polinomio è di grado dispari). Le uniche possibile radici razionali di quest'equazione polinomiale sono della forma ''r''/''s'' dove ''r'' è un [[divisore]] di ''a''₀ ed ''s'' è un divisore di ''a''_''n''; c'è solo un numero finito di questi candidati che è facile controllare a mano. Se nessuno di loro è una radice di ''p'', allora ''x'' deve essere irrazionale. Per esempio, questa tecnica può essere usata per mostrare che ''x'' = (2^1/2 + 1)^1/3 è irrazionale: abbiamo (x³ &minus;− 1)² = 2 e quindi x⁶ &minus;− 2x³ &minus;− 1 = 0, e quest'ultimo polinomio non ha alcuna radice razionale (gli unici candidati possibili sono ±1).

Poiché i numeri razionali formano un [[Campo (matematica)|campo]], molti numeri irrazionali possono essere costruiti combinando razionali e irrazionali. Numeri come <math>e+2</math>, <math>5\pi-3</math>, <math>2-\log_3 10</math> non possono essere razionali, perché altrimenti lo sarebbero, rispettivamente, ''e'', &pi;π e <math>\log_3 10</math>.

== Irrazionali e trascendenti ==

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== Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità ==

Non si sa ancora se <math>\pi + e</math> o <math>\pi - e</math> siano irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli ''m'' ed ''n'' per cui si sappia se <math>m \pi + n e</math> è irrazionale o no. Non si sa neanche se <math>2^e</math>, <math>\pi^e</math>, <math>\pi^\sqrt{2}</math> o la [[costante di Eulero-Mascheroni]] siano irrazionali.

== Topologia ==

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[[fa:عدد گنگ]]

[[fi:Irrationaaliluku]]

[[fiu-vro:Irratsionaalarv]]

[[fr:Nombre irrationnel]]

[[gl:Número irracional]]