Mutuo: differenze tra le versioni

Versione delle 22:08, 4 nov 2009

Versione delle 22:11, 5 nov 2009

Riga 15:

Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse su debito residuo <math> M_{t} </math> si ha che:

:<math>\ M_{t+1}=M_{t} + rM_{t} - R =(1+r)M_{t} - R</math>

Calcolando <math> M_{1} </math> cioè il mutuo dopo 1 anno si ha :

:<math>\ M_{1}=(1+r)M_{0} - R </math>

Calcolando <math> M_{2} </math> cioè il mutuo dopo 2 anno si ha :

:<math>\ M_{2}=(1+r)M_{1} - R =(1+r)^{2}M_{0}-R(1+r)-R</math>

Calcolando <math> M_{3} </math> cioè il mutuo dopo 3 anno si ha :

:<math>\ M_{3}=(1+r)M_{2} - R =(1+r)^{3}M_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R</math>

Pertanto il mutuo al tempo t sarà:

:<math>\ M_{t}=(1+r)M_{t-1} - R =(1+r)^{t}M_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R</math>

Posto:

:<math>\ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R </math>

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione per <math> -(1+r) </math> si ha :

:<math>\ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r) </math>

Sommando membro a membro le 2 equazioni si ottiene:

:<math>\ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R </math>

Da cui si ricava:

:<math>\ S_{t} = -\dfrac{R}{r}\left((1+r)^{t}-1\right) </math>

Allora il mutuo al tempo t risulta uguale a :

:<math>\ M_{t}=(1+r)^{t}\left( M_{0}-\dfrac{R}{r}\right) + \dfrac{R}{r} </math>

Considerando la successione <math> M_{t} </math> continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:

<math>\ \dfrac{d(M(t))}{dt}=(1+r)^{t}log(1+r)\left( M_{0}-\dfrac{R}{r}\right) </math>

per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per <math> R<=M_{0}r </math> e quindi in tal caso il mutuo non si estinguerebbe mai, mentre per <math> R>M_{0}r </math> la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il mutuo si estingue.