Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 17:39, 6 nov 2009

Versione delle 17:48, 6 nov 2009

Riga 37:

per cui si può porre

<math>A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>

Una seconda possibilità consiste nel chiudere lo spazio, imponendo condizioni periodiche al contorno su una lunghezza ''L'' molto grande:

:<math>\phi_k(x+L))=\phi_k(x).</math>

In tal caso, i vettori d'onda sono quantizzati

:<math>k=k_n = \frac{2 \pi n}{L},\qquad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots</math>

e si ha

:<math>\int_{-L/2}^{L/2} dx \psi_{k_{m}}^{\ast} (x) \psi_{k_n} (x)

= \vert A \delta_{nm},</math>

per cui è sufficiente porre

<math>A=\sqrt{\frac{1}{L}}</math>

</ref>

In generale, l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\hat{H}</math> e l'operatore [[quantità di moto]] <math>\hat{p}</math> della particella libera [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]]

:<math>\hat{K}=\frac{\hat{p}^2/(}{2m)};</math>:

Si ha

:<math>[\hat{H}, \hat{p}] = \left[ \hat{H}, \hat{K} \right] =0.,</math>

Quindiquindi, gli operatori <math>\hat{H}</math>, <math>\hat{K}</math>, e <math>\hat{p}</math> ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]].

Si può verificare che la soluzione generale dell'equazione di Schrödinger è autofunzione

della quantità di moto, essendo:

:<math>(-i \hbar \frac{d}{dx})\,\phi_k(x) = A\, \hbar k \, e^{i k x} = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

L'evoluzione temporale dello stato <math>\phi_k</math> da luogo a