Forma indeterminata: differenze tra le versioni

Versione delle 00:38, 7 nov 2009

Versione delle 00:48, 7 nov 2009

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:<math>\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^0 \qquad +\infty-\infty </math>

individuano le cosiddette '''forme indeterminate''', che sono collezioni di [[Funzione (matematica)|funzioni]] di una [[Variabile (matematica)|variabile]] [[Numero reale|reale]] esprimibili [[Composizione di funzioni|componendo]] (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale ''f''(''x'') e ''g''(''x'') aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi i domini delle funzioni.

individuano le cosiddette '''forme indeterminate''', collezioni di funzioni

di una variabile reale esprimibili componendo (mediante una moltiplicazione, una divisione

o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale ''f''(''x'') e ''g''(''x'')

aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi i domini delle funzioni.

Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione

:<math>{f(x) \over g(x)}</math>

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0 quando ''x'' tende a ''x''₀.

Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +&infin; o a &minus;&infin;, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla [[retta reale estesa]]; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni ''f'' e ''g'' in vicinanza di ''x''₀.

Può accadere che questa funzione rapporto

Ad esempio,:

si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +&infin; o a &minus;&infin;, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla [[retta reale estesa]]; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni ''f'' e ''g'' in vicinanza di ''x''₀.

Ad esempio,

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}{\sin(x)\over x}=1</math>

mentre:

:<math>\lim_{x\rightarrow 49}{x-49\over\sqrt{x}\,-7}

=\lim_{x\rightarrow 49}{(\sqrt{x}\,-7)(\sqrt{x}\,+7)\over\sqrt{x}\,-7} = 14 </math> .

La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata 0/0, mentre i [[limite di una funzione|limiti]] di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

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|-

|<math>\lim (f(x)-{g(x))}</math>

|<math>\lim f(x)= + \infty</math>, <math>\lim g(x)= - \infty</math>

|<math>+\infty-\infty</math>

|<math>\ln (\lim \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}})</math>

|-

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== Collegamenti esterni ==

* [http://ripmat.it/mate/c/cd/cdg.html Forme indeterminate e dimostrazioni]

* [http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata]

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[[Categoria:Limiti]]