Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 00:29, 20 apr 2006

Versione delle 12:44, 26 apr 2006

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La funzione si può anche definire come [[limite di una successione]] di funzioni definite in ''[0,1]'', costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale continuasuggerita ein nonfigura decrescentea dilato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati, con: 2ⁿ lati sono obliqui di [[coefficiente angolare ]] (3/2)ⁿ e 2ⁿ-1 lati sono orizzontali, ciascun latociascuno di ampiezza orizzontalelunghezza (1/3)ⁿ, tale che. perPer ogni n∈N risultirisulta f_n(0)=0, f_n(1)=1. In figura sono sovrappostedisegnate f₀, f₁ e f₂.

[[Image:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Notare che siSi può "costruire" la ''n''+1-esima poligonale f_n+1 come una modificazionetrasformazione della f_n: infatti, detti I_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ e J_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k<sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f_n+1 = f_n in J_k<sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I_k<sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1<sup>(n+1)</sub> e I_2k<sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J_2k-1<sup>(n+1)</sub>.

Si può provare che risulta:

Notare che si può "costruire" la n+1-esima poligonale f_n+1 come una modificazione della f_n: infatti, detti I_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ e J_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k<sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f_n+1 = f_n in J_k<sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I_k<sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1<sup>(n+1)</sub> e I_2k<sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J_2k-1<sup>(n+1)</sub>.

Si può provare che risulta: <math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }[\big\{\max_{x \in [0,1]} |\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|]\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.

Si può provare che risulta: <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]''. dunqueDunque per n→∞''n''→∞ converge uniformemente aad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

== Proprietà ==