Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni
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Nell'[[integrale di Lebesgue]], i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il ''[[teorema della convergenza monotona]]'' (o di [[Beppo Levi]]) e il ''[[teorema della convergenza dominata]]'': il primo afferma che lo scambio è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente (ovvero se <math>f_n(x)\leq f_{n+1}(x)</math> per ogni ''x'' e per ogni ''n''), mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che
:<math>|f_n(x)|\leq g(x)</math>
per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni devono ovviamente essere [[funzione misurabile|misurabili]], per dare un senso alla successione di integrali; in questo caso non è necessario neppure chiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile, poiché il limite di una successione
I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un'ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività: basta infatti che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> (e quindi, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti). Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.
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