Numero intero: differenze tra le versioni

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Versione delle 15:21, 14 apr 2010

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{{nota disambigua|descrizione=informazioni sul tipo di dato utilizzato in informatica|titolo=[[Numero intero (informatica)]]}}

I '''numeri interi''' (o '''numeri relativi''') sono formati dall'unione dei [[numero naturale|numeri naturali]] (0, 1, 2, ...) e dei [[Numero negativo|numeri negativi]] (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno [[meno (matematica)|meno]] davanti ai naturali positivi. L'[[insieme]] di tutti i numeri interi in [[matematica]] viene indicato con '''Z''' o <math>\mathbb{Z}</math>, perché è la lettera iniziale di "''Zahl''" che in [[lingua tedesca|tedesco]] significa numero.<br />

Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di [[numeri naturali]].

I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un [[numero razionale]]: i matematici esprimono questo fatto dicendo che '''Z''' è un [[anello commutativo]] ma non un [[campo (matematica)|campo]].

== Proprietà algebriche ==

Come i numeri naturali '''Z''' è ''chiuso'' rispetto alle [[operazione binaria|operazioni]] di [[addizione]] e di [[moltiplicazione]], cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, '''Z''' (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di [[sottrazione]]: se ''a'' e ''b'' sono interi, anche ''a'' - ''b'' lo è. Tuttavia, '''Z''' non è chiuso sotto l'operazione di [[divisione (matematica)|divisione]], poiché il quoziente di due interi (per esempio 1/2) non è necessariamente un numero intero.

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|}

=== Gruppo ===

Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che '''Z''' è un [[gruppo abeliano]] con l'operazione ''somma''. In particolare, '''Z''' è un [[gruppo ciclico]], poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte 1 + 1 + ... + 1 oppure (−1) + (−1) + ... + (−1). Il gruppo '''Z''' è l' ''unico'' gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è [[isomorfismo|isomorfo]] a '''Z'''.

=== Anello ===

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che '''Z''' con l'operazione ''prodotto'' forma un [[monoide]] commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero ''x'' tale che 2''x'' = 1. Quindi '''Z''' non è un gruppo se considerato con l'operazione ''prodotto''.

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L'anello '''Z''' è inoltre un [[dominio d'integrità]], perché non contiene [[divisore dello zero|divisori dello zero]]. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo '''Q''' dei [[numero razionale|numeri razionali]].

=== Algoritmo di Euclide ===

{{vedi anche|algoritmo di Euclide|teorema fondamentale dell'aritmetica}}

Anche se la divisione ordinaria non è definita su '''Z''', è possibile usare l'[[algoritmo di Euclide]] per effettuare una divisione con resto: dati due interi ''a'' e ''b'' con ''b''&nbsp;≠&nbsp;0, esistono e sono unici due interi ''q'' e ''r'' tali che

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L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un [[massimo comune divisore]] ed un [[minimo comune multiplo]]. Inoltre, per il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di [[numero primo|numeri primi]]. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di '''Z''' un [[anello euclideo]].

== Ordinamento ==

'''Z''' è un [[insieme totalmente ordinato]] senza [[estremo superiore]] o inferiore. L'ordine di '''Z''' è dato da

: ... < -2 <-1 < 0 < 1 < 2 < ...

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# se ''a'' < ''b'' e 0 < ''c'', allora ''ac'' < ''bc''

== Definizione formale ==

L'insieme '''Z''' può essere definito a partire dall'insieme '''N''' dei [[numeri naturali]] tramite il concetto di [[insieme quoziente]]. Si consideri il [[prodotto cartesiano]] '''N'''² = '''N''' × '''N''', ovvero l'insieme di tutte le [[coppia ordinata|coppie ordinate]] di numeri naturali <math>(a,b)</math>. Si consideri la seguente [[relazione (matematica)|relazione]] <math>\sim</math>

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Si dimostra facilmente che esiste un [[isomorfismo]] tra l'insieme dei numeri naturali e il sottorinsieme di '''Z''' costituito dagli elementi del tipo <math>[(a,0)]</math>. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

=== Operazioni ===

Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:

:<math>(n_1,n_2)+(m_1,m_2)=(n_1+m_1,n_2+m_2)</math>

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Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme '''Z''' con queste operazioni è un [[anello commutativo]].

== Voci correlate ==

* [[1 (numero)]]

* [[100 (numero)]]