Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 15:17, 29 mag 2010

Versione delle 12:13, 30 mag 2010

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==Caso unidimensionale==

{{vedi anche|Equazione di Schrödinger}}

L'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) + V(x) \, \psi (x,t), </math>

percon unala particellafunzione libera, <math>V(x)=0</math>,d'onda preparata nello stato iniziale <math>\psi_(x,0)=\phi_k(x)</math>.

LLa soluzione, che determina l'evoluzione temporale dello stato <math>\phi_k</math>, daè luogoun'[[onda apiana]]:

:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

di energia <math>E_k = p^2/(2m)</math> e quantità di moto <math>p=\hbar\,k</math>, che viaggia con [[frequenza]]:

:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

il cui [[vettore d'onda]] è ''k''.

Questa è soluzione del

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

delle varie onde piane <math>\psi_k</math>:

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_k \,\psi_k(x,t),</math>

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

===Autofunzioni===

{{vedi anche|Autofunzione}}

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria, in una dimensione, è in generale

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:<math>\left(-i \hbar \frac{d}{dx}\right)\,\phi_k(x) = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

L'evoluzione temporale dello stato <math>\phi_k</math> da luogo a

un'[[onda piana]],

:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

di energia <math>E_k = p^2/(2m)</math> e quantità di moto <math>p=\hbar\,k</math>, che viaggia con [[frequenza]]:

:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

il cui [[vettore d'onda]] è ''k''.

Questa è soluzione dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) + V(x) \, \psi (x,t), </math>

per una particella libera, <math>V(x)=0</math>, preparata nello stato iniziale <math>\psi_(x,0)=\phi_k(x)</math>.

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

delle varie onde piane <math>\psi_k</math>:

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_k \,\psi_k(x,t),</math>

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

==Caso tridimensionale==