Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 12:26, 30 mag 2010

Versione delle 12:36, 30 mag 2010

Riga 34:

===Autofunzioni===

{{vedi anche|Autofunzione}}

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le le autofunzioni dell'[[operatore impulso]], dal momento che i due operatori <math>\hat{H}</math> e <math>\hat{p}</math> [[commutatore|commutano]], e possiedono quindi una base di [[Autostato|autostati]] comune.<br>

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale

Riga 48 ⟶ 49:

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la condizione al contorno che la funzione dl'ondaautofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>

Riga 81 ⟶ 82:

:<math>A=\sqrt{\frac{1}{L}}</math>

</ref>

In generale, l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\hat{H}</math> e l'operatore [[quantità di moto]] <math>\hat{p}</math> della particella libera [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]]

:<math>\hat{K}=\frac{\hat{p}^2}{2m};</math>

Si ha

:<math>[\hat{H}, \hat{p}] = [ \hat{H}, \hat{K} ] =0,</math>

quindi, gli operatori <math>\hat{H}</math>, <math>\hat{K}</math>, e <math>\hat{p}</math> ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]].

Si può verificare che la soluzione progressiva dell'equazione di Schrödinger è autofunzione

della quantità di moto, essendo:

:<math>\left(-i \hbar \frac{d}{dx}\right)\,\phi_k(x) = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

==Caso tridimensionale==