Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 12:36, 30 mag 2010

Versione delle 15:03, 30 mag 2010

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il cui [[vettore d'onda]] è ''k''.<br>

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

delle varie onde piane <math>\psi_k</math>:

La soluzione più generale nel caso di particella libera è il [[pacchetto d'onda]] in una dimensione:

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_k \,\psi_k(x,t),</math>

:<math>\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}</math>

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

dove il fattore prima dell'integrale è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo <math>t=0</math> si impone che la funzione d'onda sia:

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

:<math>\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar}</math>

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante ''t''. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

:<math>P(x,t) dx = |\psi(x,t) |^2 dx \ </math>

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo <math>x, x+dx</math>, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

:<math>\sum_kint_{-\,infty}^{\vert c_kinfty} |\vertpsi(x,t)|^2 dx = 1,</math>

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty</math>

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_kc_1 \psi_1 (x,t) + c_2 \psi_kpsi_2 (x,t), \ </math>

dove <math>c_1, c_2 \in \mathbb{C}</math> che suggerisce valevole il [[principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)|principio di sovrapposizione]], essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

===Autofunzioni===