Particella libera: differenze tra le versioni
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==Caso tridimensionale==
Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di [[Onda sferica|onde sferiche]].
===L'equazione di Schrödinger radiale===
{{Vedi anche|Moto in un campo centrale|Equazione di Schrödinger}}
L'equazione di Schrödinger radiale è:
:<math>\left(-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] + V(r) \right) R (r) = E \cdot (r)</math>
dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>, si vede che <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.
Nel caso di particella libera <math>V(r) = 0</math> per cui:
:<math>\left[\frac{d^2}{d r^2} + \frac{2}{r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] R_{k,l} (r) + k^2 R_{k,l} (r) = 0</math>
dove abbiamo per la particella libera <math>E>0</math> determinata
:<math>k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}</math>
quindi soluzioni nel continuo date da <math>\Psi_{k,l,m} = R_{k,l} (r) \cdot Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math> dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche. A noi interessa solo la soluzione radiale <math>R_{k,l} (r)</math> con valore di ''l'' detreminato. Vediamo anche che le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' definito prima oltre che dal valore di ''l''.
La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:
:<math>\int_{0}^{\infty} \Psi_{k',l',m'}^{*} \Psi_{k,l,m} r^2 \, dr \, d \Omega = 2 \pi \delta_{l'l} \delta_{m'm} \delta (k'-k)</math>
come vuole la normalizzazione discreta (<math>d\Omega = d \theta d\varphi</math>) per ''l'' ed ''m'' data dalle [[autofunzioni del momento angolare]] e normalizzazione continua per ''k''. Per le funzioni radiali che ci interessano:
:<math>\int_{0}^{\infty} R_{k',l}^{*} R_{k,l} r^2 \, dr = 2 \pi \delta (k'-k)</math>
In termini di energia usando <math>\hbar^2 k^2 / 2 m = E</math> questa condizione diventa
:<math>\int_{0}^{\infty} R_{E',l}^{*} R_{E,l} r^2 \, dr = \delta (E'-E)</math>
==== Soluzione per <math>l=0</math> ====
Per <math>l=0</math> l'equazione si semplifica:
:<math>\frac{d^2 R_{k,0} (r)}{d r^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{k,0} (r)}{dr} + k^2 R_{k,0)} (r) = 0</math>
la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità <math>\lim_{r \to 0} R(r) = 0</math> è data da:
:<math>R_{k,0} (r) = A_1 \frac{\sin k r}{r}</math>
mentre quella singolare nell'origine:
:<math>R_{k,0} (r) = - A_2 \frac{\cos k r}{r}</math>
dove <math>A_1, A_2</math> sono costanti di normalizzazione. Le costanti di normalizzazione si ottengono dalla condizione di normalizzazione vista sopra:
:<math>A_{1}^{2} \int_{0}^{\infty} dr \, r^2 \sin (k' r) \sin (k r) = 2 \pi \delta (k'-k)</math>
da cui <math>A_1 = 2</math>. Quindi:
:<math>R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin k r}{r}</math>
:<math>R_{k,0} (r) = - 2 \frac{\cos k r}{r}</math>
==== Soluzione per <math>l \neq 0</math> ====
Facciamo la sostituzione:
:<math>R_{k,l} (r) = r^l \chi_{k,l} \ </math>
e risolviamo l'equazione:
:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l}}{d r^2} + \frac{2(l+1)}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} + k^2 \chi_{k,l} = 0</math>
derivando rispetto ad ''r'' abbiamo:
:<math>\frac{d^3 \chi_{k,l}}{d r^3} + \frac{2 (l+1)}{r} \frac{d^2 \chi_{k,l}}{dr^2} + k^2 \frac{d\chi_{k,l}}{dr} - \frac{2 (l+1)}{r^2} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} = 0</math>
cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se <math>\chi'_{k,l} = r \chi_{k, l+1}</math> l'equazione precedente si riduce
:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l+1}}{d r^2} + \frac{2 (l+2)}{r} \frac{d \chi_{k,l+1}}{dr} + k^2 \chi_{k,l+1} = 0</math>
dove le funzioni <math>\chi_{k,l}</math> sono legate dalla relazione ricorsiva:
:<math>\chi_{k,l+1} = \frac{1}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr}</math>
Quindi noto il termine:
:<math>\chi_{k,0} (r) = R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin kr}{r}</math>
allora tutte le funzioni sono note infatti per <math>l \neq 0</math>:
:<math>\chi_{k,l} (r) = \left(\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \chi_{k,0}</math>
In definitiva le funzioni radiali sono date da:
:<math>R_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r}</math>
dove la costante di normalizzazione vale <math>N_l = \frac{2 (-)^l}{k^l}</math>. Le soluzioni singolari nell'origine sono date:
:<math>S_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\cos kr}{r}</math>
==== Comportamento asintotico ====
Per <math>r \to 0</math> le funzioni regolari possono essere sviluppate in serie di <math>\sin kr</math> al primo ordine in ''r'':
:<math>\left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r} \simeq \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l (-)^l \frac{(kr)^{2l + 1}}{r (2l + 1)!} + O(r^2)= \frac{(-)^l k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>
Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:
:<math>R_{k,l} (r) \simeq \frac{2 k^{l+1} r^l}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>
Per <math>r \to \infty</math> le funzioni regolari di ''r'':
:<math>R_{k,l} \simeq \frac{2}{r} \sin \left( k r - \frac{l \pi}{2} \right)</math>
infatti ogni derivazione rispetto ad ''r'' del seno aggiunge solo un termine <math>- \pi /2</math>
=== Funzioni di Bessel sferiche ===
Le soluzioni <math>R_{k,l} (r)</math> possono essere rappresentate in termini di [[Funzione di Bessel|funzioni di Bessel sferiche]] regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:
:<math>j_0(x) = \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}</math>
:<math>j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}</math>
:<math>n_1(x) = - \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>j_2(x) = \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \sin x - \frac{3 \cos x}{x^2}</math>
:<math>n_2(x) = - \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \cos x - \frac{3 \sin x}{x^2}</math>
:<math>j_{l} (x) = (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>n_{l} (x) = - (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\cos x}{x}</math>
Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:
:<math>R_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} J_{l+1/2} (kr) = 2 k j_l (kr)</math>
:<math>S_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} N_{l+1/2} (kr) = 2 k n_l (kr)</math>
dove <math>J_{l+1/2}, N_{l+1/2}</math> sono le soluzioni rispettivamente regolari e singolari dell'[[equazione di Bessel]]:
:<math>\frac{d^2}{dz^2} Z_v + \frac{1}{z} Z_v + \left( 1- \frac{v^2}{z^2} \right) Z_v = 0</math>
Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:
:<math>j_l (x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2} (x)</math>
Gli andmenti asintotici per <math>x \to 0</math>:
:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{x^l}{(2 l + 1)!!}</math>
:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{(2l -1)!!}{x^{l+1}}</math>
per <math>x \to \infty</math>
:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \cos \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>
:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \sin \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>
come si voleva.
=== Funzioni di Hankel sferiche ===
A volte è utile esprimere le funzioni d'onda della particella libera <math>R_{k,l} (r)</math> in termini di [[Funzione di Hankel|funzioni di Hankel sferiche]] che sono date:
:<math>h_{l}^{(1)} (x) = j_l (x) + i n_l (x)</math>
:<math>h_{l}^{(2)} (x) = j_l (x) - i n_l (x) = [h_{l}^{(1)} (x)]^*</math>
Le prime funzioni di Hankel sono:
:<math>h_{0}^{(1)}(x) = \frac{e^{ix}}{ix}</math>
:<math>h_{1}^{(1)}(x) = - \frac{e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{i}{x} \right)</math>
:<math>h_{2}^{(1)}(x) = \frac{i e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{3i}{x} \frac{3}{x^2} \right)</math>
Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:
:<math>R_{k,l}^{(1)} (r) = 2 k h_{1}^{(l)}(kr)</math>
:<math>R_{k,l}^{(2)} (r) = 2 k h_{2}^{(l)}(kr)</math>
e gli andamenti asintotici: per <math>x \to \infty</math>
:<math>h_{l}^{(1)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>
:<math>h_{l}^{(2)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{-i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>
Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:
:<math>R_{k,l}^{(1)} \simeq \frac{1}{kr} e^{i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>
:<math>R_{k,l}^{(2)} \simeq \frac{1}{kr} e^{-i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>
Mentre nell'origine <math>r \to 0</math>:
:<math>R_{k,l}^{\pm} \simeq \frac{(2l - 1)!!}{k^{l}} r^{-l-1}</math>
== Note ==
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