Funzione intera: differenze tra le versioni

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In [[analisi complessa]], per '''funzione analitica intera''' o, brevementein breve, per '''funzione intera''' si intende una [[Funzione (matematica)|funzione]] di variabile complessa che è [[funzione olomorfa|olomorfa]] in tutti i punti del [[numero complesso|piano complesso]] <math>\mathbb{C}</math>.

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in [[serie di potenzeTaylor]]

:<math>f(z)=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+a_3(z-c)^3+\cdots</math>

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''.

In effetti uno sviluppo della forma precedente esiste per ogni <math>c\in \mathbb{C}</math>.

:<math>f(z)=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+a_3(z-c)^3+\cdots</math>

== Esempi ==

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''. In effetti, se uno sviluppo della forma precedente esiste per un punto '''c''', allora esso esiste per ogni punto del piano complesso.

La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ''g'' è sempre diversa da 0 (se ''g'' ha degli zeri il quoziente è una [[funzione meromorfa]].

== Esempi ==

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e lela funzionicomposizione di funzioni intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ogni zero di ''g'', è sempreanche diversazero da 0 (sedi ''gf'' hacon deglizero zeridi molteplicità uguale o superiore (in caso contrario il quoziente è una [[funzione meromorfa]].

Altre funzioni intere sono:

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].

Altre funzioni intere sono:

*le [[funzioni di Airy]];

*la [[funzione degli errori]] erf(''z'') e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(''z'') e la funzione degli errori immaginaria erfi(''z'');

*la reciproca della [[funzione Gamma]];

*gli [[integrali di Fresnel]];

*la funzione [[Funzioni integrali trigonometriche |integral seno integrale]];

*le [[Funzione integrale esponenziale |funzioni En]];

*la [[funzione G di Barnes]].

== Crescita ==

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>f^{(n)}(z)\leq\frac{n!M}{R^n},</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''nm'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^nm</math> per una costante ''C'' e per un intero ''n'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''nm''.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[Singolarità_isolata#Singolarit.C3.A0_eliminabile|singolarità rimovibileeliminabile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r},</math>

dove ''M_f''(''r'' ) indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione (intera) <math>\cos\sqrt{z}</math>.

== Zeri ==

Come per ogni funzione olomorfa, glil'insieme degli zeri di una funzione intera non possonopuò avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, ovveroe dunque, in questo caso, nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri, questa è facile costruire una funzione intera che si annulla in quegli zeri (e solo in quelli). Ad esempio, una funzione con zero in 0 di molteplicità ''m'' (può anche essere ''m''=0) e in ''a''₁, ..., ''a''_n, diversi da costruire0 (ove ogni zero è ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità), è attraversodata ladal produttoriapolinomio

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\inftyr \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)}.</math>

Di conseguenza, ogni funzione intera con esattamente quegli zeri (con la giusta molteplicità) può essere ottenuta moltiplicando questa produttoria per <math>e^{g(z)}</math>, ove ''g''(''z'') è una funzione intera.

Questa costruzione non si può estendere senza modificazionimodifiche ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione interaolomorfa). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione intera ''f'' (''z''), con uno zero di ordine ''m'' in 0 e gli altri zeri negliin {''a''_n1, ''}a''₂, ..., ''a''_''n'', ... (tuttiognuno diversidei daquali 0ripetuto in accordo con la sua molteplicità), può essere scritta nella forma è

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\sum_prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{1z}{|a_n|}\right)e^{h_n+1}g_n(z)}<+\infty,</math>

dove ''g'' (''z'') è una funzione intera e

== Crescita ==

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>f^{(n)}(z)\leq\frac{n!M}{R^n}</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f''| nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''n'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^n</math> per una costante ''C'' e per un intero ''n'') è effettivamente un polinomio di grado ''n''.

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\ldots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[singolarità rimovibile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

in cui gli ''h_n'' sono degli interi tali che

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r}</math>

dove ''M_f''(''r'') indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione <math>\cos\sqrt{z}</math>.

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty.</math>

== Zeri ==

Come per ogni funzione olomorfa, gli zeri di una funzione intera non possono avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, ovvero nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri, questa è facile da costruire attraverso la produttoria

:<math>\prod_{n=1}^m (a_n-z)</math>

Se tale serie risulta convergente prendendo gli ''h_n'' tutti uguali ad un numero reale positivo ''a'', il minimo &tau; tra gli ''a'' che soddisfano questa ipotesi viene detto esponente di convergenza della successione {|''a''_''n''|}_''n''. Il [[teorema di Hadamard]] lega l'ordine &lambda; di una funzione intera all'esponente di convergenza &tau; ed al grado del polinomio ''d'': più precisamente si ha

Questa costruzione non si può estendere senza modificazioni ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione intera). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione con zeri negli {''a_n''} (tutti diversi da 0) è

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)}</math>

dove ''g'' è una funzione intera e

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\ldots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

in cui gli ''h_n'' sono degli interi tali che

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty</math>

:<math>\prod_{nlambda=1}^m \max(a_n-zd,\tau).</math>

Se è possibile prendere gli ''h_n'' tutti uguali ad un intero ''h'' e ''g'' è un polinomio, il massimo tra ''h'' e il suo grado è detto il ''genere'' di ''f''; altrimenti il genere è infinito. Il [[teorema di Hadamard]] lega il genere e l'ordine: se ''h'' è il genere e &lambda; l'ordine, si ha <math>h\leq\lambda\leq h+1</math>. Poiché il genere è un intero, questo è univocamente determinato dall'ordine se questo è frazionario; se invece l'ordine è intero si possono avere entrambi i casi. Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|anno=1979|editore=McGraw Hill|edizione=terza edizione|id=ISBN 0-07-000657-1}}

== Voci correlateBibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|anno=1979|editore=McGraw Hill|edizione=terza edizione|id=ISBN 0-07-000657-1}} == Voci correlate == *[[Funzione meromorfa]]

*[[Funzione meromorfa]]

== Collegamenti esterni ==

*{{MathWorld| EntireFunction}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[Categoria:Funzioni speciali]]

[[bg:Цяла функция]]

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[[sv:Hel funktion]]

[[zh:整函数]]

τ