Sistema input-output: differenze tra le versioni
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Riga 31:
| style="text-align:left" | 300 anni-uomo di lavoro
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Le righe della tabella mostrano gli output (le erogazioni):
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Deve esistere un sistema di prezzi che garantisca la possibilità effettiva degli scambi tra i diversi settori; nel caso della Tabella 1 i prezzi sono 20 euro per un quintale di grano, 15 euro per un metro di stoffa, 3 euro per un anno-uomo di lavoro. Si ottiene così la tabella dei valori:
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
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| style="border-top:1px solid black;" | 2.250
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La prima riga mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto (utilizzo diretto o scambi tra agricoltori), ne vende parte all'industria per 120 euro ed il resto alle famiglie per 330 euro, con un ricavo complessivo di 600 euro.
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Analiticamente, il prodotto totale dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore si indica con ''q<sub>i</sub>'', la quantità prodotta dall<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore e impiegata dal ''j''-esimo si indica con ''q<sub>ij</sub>'', il prezzo del prodotto dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore con ''p<sub>i</sub>''. Le due tabelle costituiscono casi particolari dei due [[sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]]:
:<math>(1)\quad\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}</math>
:<math>(2)\quad\begin{cases}q_{11}p_1+q_{21}p_2+\dots+q_{n1}p_n=q_1p_1\\q_{12}p_1+q_{22}p_2+\dots+q_{n2}p_n=q_2p_2\\ \dots \\q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+\dots+q_{nn}p_n=q_np_n\end{cases}</math>
Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondo ''alle colonne'' della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).
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Dividendo ciascuna riga del secondo sistema per le quantità prodotte, si ottiene un nuovo sistema espresso in termini dei coefficienti tecnici di produzione:
:<math>(3)\quad\begin{cases}a_{11}p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=p_1\\a_{12}p_1+a_{22}p_2+\dots+a_{n2}p_n=p_2\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+a_{nn}p_n=p_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>A^T\vec{p}=\vec{p}</math>
Line 105 ⟶ 98:
:<math>(4)\quad\begin{cases}(a_{11}-1)p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=0\\a_{12}p_1+(a_{22}-1)p_2+\dots+a_{n2}p_n=0\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+(a_{nn}-1)p_n=0\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(A^T-I)\vec{p}=\vec{0}</math>
dove ''A<sup>T</sup>'' è la [[Matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice quadrata]] (''a<sub>ij</sub>'') dei coefficienti tecnici di produzione e ''I'' è la [[matrice identità]].
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:<math>(6)\quad\begin{cases}(1-a_{11})q_1-a_{12}q_2-\dots-a_{1n}q_n=y_1\\-a_{21}q_1+(1-a_{22})q_2-\dots-a_{2n}q_n=y_2\\ \dots \\-a_{n1}q_1-a_{n2}q_2-\dots+(1-a_{nn})q_n=y_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(I-A)\vec{q}=\vec{y}</math>
Si può dimostrare che anche in questo caso esiste sempre un vettore di quantità non negative che sia soluzione del sistema (6) e che, pertanto, si possono trovare le quantità che, dati i [[Coefficiente di produzione|coefficienti di produzione]], consentono di ottenere output uguali alla domanda.
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:<math>(7)\quad\begin{cases}(1-a_{11})p_1-a_{21}p_2-\dots-a_{n1}p_n=v_1\\-a_{12}p_1+(1-a_{22})p_2-\dots-a_{n2}p_n=v_2\\ \dots \\-a_{1n}p_1-a_{2n}p_2-\dots+(1-a_{nn})p_n=v_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(I-A^T)\vec{p}=\vec{v}</math>
I valori ''v<sub>i</sub>'' comprendono sia i costi degli input che il valore aggiunto distribuito ai settori esogeni. Il sistema (7) consente di determinare i prezzi sulla base di dati valori aggiunti per unità di prodotto.
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== Bibliografia ==
* [[Amedeo Amato]], [[
* ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica], ottobre 2006.
* {{en}} [[Wassily Leontief]], ''The Structure of American Economy 1919-1929'', 1
* {{en}} [[Wassily Leontief]], ''Input-Output Economics'', New York, Oxford University Press, 1986, ISBN 0195035259; raccoglie venti articoli scritti tra il 1947 e il 1985.
* [[Luigi Pasinetti]], ''Lezioni di teoria della produzione'', Bologna, Il Mulino, 1981, ISBN 8815020357; il Capitolo 4 è dedicato a «Lo schema di Leontief», il Capitolo 2 a «La tavola delle transazioni o delle immissioni-erogazioni» ed al suo utilizzo come complemento e controllo delle rilevazioni di [[contabilità nazionale]].
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