Algebra supercommutativa: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 1:
In [[matematica]]
:<math>yx = (-1)^{|x| |y|}xy.\,</math>
Riga 19:
Ogni [[algebra commutativa]] (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'[[algebra di Grassmann]] (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra (vedi [[Centro di un gruppo]]), è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.
== Commutatore ==
In [[matematica]], un '''commutatore''' è un oggetto che è diverso da zero precisamente quando una [[operazione binaria]] non soddisfa la [[proprietà commutativa]].
I commutatori sono ampiamente usati nella [[teoria dei gruppi]] e nella [[teoria degli anelli]]. Nella [[meccanica quantistica]], i commutatori sono usati per formulare il [[principio di indeterminazione di Heisenberg]].
== Teoria dei gruppi ==
=== Definizione ===
Sia <math>G</math> un [[gruppo (matematica)|gruppo]]. Il '''commutatore''' di due elementi <math>a</math> e <math>b</math> del gruppo è l'elemento
:<math> [a,b] = a^{-1}b^{-1}ab.\,\!</math>
In alcuni testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:
:<math> [a,b] = aba^{-1}b^{-1}.\,\!</math>
=== Proprietà ===
Due elementi <math>a</math> e <math>b</math> ''commutano'' quando <math>ab=ba</math>. Questo accade se e solo se il commutatore si riduce all'elemento identico:
:<math> [a,b] = 1.\,\!</math>
Il [[sottogruppo]] [[generatori di un gruppo|generato]] da tutti i commutatori di <math>G</math> è detto [[sottogruppo dei commutatori]]. Un gruppo è [[gruppo abeliano|abeliano]] se e solo se questo sottogruppo è banale.
=== Teoria degli anelli ===
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]]. Il '''commutatore''' di due elementi <math>a</math> e <math>b</math> è l'elemento
:<math>[a,b] = ab-ba.\,\! </math>
=== Proprietà ===
Due elementi <math>a</math> e <math>b</math> ''commutano'' se <math>ab=ba</math>. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:
:<math>[a,b] = 0.\,\!</math>
Il commutatore è una funzione ''bilineare'':
:<math>[a,b+c] = [a,b]+[a,c],\,\!</math>
:<math>[a+b,c] = [a,c]+[b,c].\,\!</math>
Il commutatore è ''anticommutativo'':
:<math>[a,b] = - [b,a]\,\!</math>
Ne segue che il commutatore è ''nilpotente'':
:<math>[a,a] = 0.\,\!</math>
Il commutatore soddisfa l'[[identità di Jacobi]]:
:<math>[a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0\,\!</math>
Il commutatore soddisfa una versione della [[regola di Leibnitz]]:
:<math>[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]\,\!</math>
Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibnitz per la mappa
:<math>D_a:A\to A,\,\!</math>
:<math>D_a: b\mapsto [a,b].\,\!</math>
che quindi definisce una [[derivazione (algebra astratta)|derivazione]] dell'anello.
Altre relazioni:
:<math>[ab,c] = a[b,c] + [a,c]b,\,\!</math>
:<math>[a,bc] = [ab,c] + [ca,b],\,\!</math>
:<math>[abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc.\,\!</math>
=== Algebra di Lie ===
Se <math>A</math> è una [[algebra associativa]], la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:
:<math>[\lambda a, b] = \lambda [a,b] = [a,\lambda b].\,\!</math>
Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in <math>A</math> con l'[[operazione binaria]]
:<math> (a,b)\mapsto [a,b] </math>
si ottiene una nuova struttura di algebra per <math>A</math>: più precisamente, si ottiene una struttura di [[algebra di Lie]]. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.
=== Esempi ===
==== Spazi di matrici ====
Le matrici <math>n\times n</math> su un [[campo (matematica)|campo]] fissato formano un'[[algebra associativa]]. Sostituendo l'usuale [[prodotto fra matrici]] con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di [[algebra di Lie]].
=== Operatori su spazi di Hilbert ===
Le matrici reali <math>n\times n</math> [[azione di un gruppo|agiscono]] sullo [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math>. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da [[operatore (matematica)|operatori]] che agiscono su un determinato [[spazio di Hilbert]] <math>H</math>.
In [[meccanica quantistica]], gli operatori descrivono gli [[osservabile|osservabili]] e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente <math>H</math> è un determinato spazio di funzioni.
Ad esempio, se <math>H</math> è uno spazio di funzioni di una variabile reale <math>x</math> a valori [[numeri complessi|complessi]], l'operatore di ''posizione'' moltiplica ogni funzione per <math>x</math>:
:<math>\hat{x}: f \mapsto x\cdot f</math>
mentre l'operatore di ''[[momento lineare|momento]]'' è una [[derivata]]:
:<math>\hat{p}:f \mapsto -i\hslash\frac{\partial f}{\partial x}.</math>
I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti
:<math>\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) - \left(-i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \right) x. </math>
Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica
su una funzione <math>f(x)</math> e si ottiene il seguente risultato:
:<math>\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) f(x) +i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \big( x f(x) \big) = </math>
:::<math> -i \hslash \left[ x\frac{\partial}{\partial x}f(x) - f(x) -x \frac{\partial}{\partial x}f(x) \right] = i \hslash f(x).</math>
Poiché la relazione vale per ogni funzione <math>f</math> di <math>H</math>, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante <math>i \hslash</math>:
:<math>\left [\hat{x}, \hat{p}\right ]: f \mapsto i \hslash f. </math>
Questa relazione è
La generalizzazione e a tre dimensioni con
:<math>\hat{\textbf x} = \left\{ {\hat x_1 ,\hat x_2 ,\hat x_3 } \right\}, \hat{\textbf p} = \left\{ {\hat p_1 ,\hat p_2 ,\hat p_3 } \right\}</math>
è la seguente:
:<math>\left [\hat{x}_i, \hat{p}_j\right ]=i \hslash \delta_{ij}</math>
dove <math>\delta_{ij}</math> è la [[delta di Kronecker]].
Altre relazioni di commutazione utili in [[meccanica quantistica]] sono le seguenti, dove <math>n</math> è un intero maggiore o uguale a zero e <math>f(p)</math> e <math>g(x)</math> due funzioni sviluppabili in [[serie di Taylor]]:
*<math>\left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1} </math>
*<math>\left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1} </math>
*<math>\left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p} </math>
*<math>\left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x} </math>
{{Cassetto|titolo=Dimostrazioni|testo=
Dimostriamo prima la relazione
*<math>\left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1} </math>
La dimostrazione procede per [[Principio di induzione|induzione]]: la relazione è vera per <math>n=1</math>, supponiamo che sia vera per qualunque <math>n</math> e dimostriamo allora che vale anche per <math>n+1</math>
:<math>\left[ {\hat x,\hat p^{n + 1} } \right] = \hat p\left[ {\hat x,\hat p^n } \right] + \left[ {\hat x,\hat p} \right]\hat p^n = i\hslash n\hat p\hat p^{n - 1} + i\hslash \hat p^n = i\hslash \left( {n + 1} \right)\hat p^n </math>
La dimostrazione di
*<math>\left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1} </math>
è analoga alla precedente.
Dimostriamo ora la relazione
*<math>\left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p} </math>
Utilizzando lo [[sviluppo di Taylor]] possiamo scrivere
:<math>f\left( p \right) = \sum\limits_n {\alpha _n p^n } </math>
da cui otteniamo
:<math>\left[ {\hat x,f\left( {\hat p} \right)} \right] = \left[ {\hat x,\sum\limits_n {\alpha _n \hat p^n } } \right] = \sum\limits_n {\alpha _n \left[ {\hat x,\hat p^n } \right] = i\hslash \sum\limits_n {\alpha _n n\hat p^{n - 1} = i\hslash\frac{\partial }{{\partial p}}\sum\limits_n {\alpha _n \hat p^n } = } } i\hslash\frac{{\partial f}}{{\partial p}}</math>
La dimostrazione di
*<math>\left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x} </math>
è analoga alla precedente.
}}
===Anticommutatore===
L''''anticommutatore''' è un [[operatore]] usato specialmente in [[meccanica quantistica]] che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra <math>a</math> e <math>b</math> è definito come:
:<math>\{a,b\}=ab+ba\,\!</math>
Riga 51 ⟶ 172:
In [[matematica]] e in [[fisica teorica]] una '''[[superalgebra]]''' è una '''Z'''<sub>2</sub>- algebra graded (algebra graduata)<ref>Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .</ref>. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un [[anello commutativo]] o un [[Campo (matematica)|campo]] che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".
Il prefisso ''super-'' deriva dalla teoria della [[supersimmetria]] in [[fisica teorica]]. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria <ref> [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVP-46P3X4Y-7S&_user=2823018&_coverDate'''Testo in grassetto'''=11%2F30%2F1985&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000058882&_version=1&_urlVersion=0&_userid=2823018&md5=5eac08065293c9f4894e4a78f7c9d210 Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985 ] </ref>. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.
=== Definizione formale ===
| |||