Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

Versione delle 13:36, 28 gen 2011

Versione delle 02:56, 6 feb 2011

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per ogni ''x'' e per ogni ''n'', allora lo scambio è possibile.

Un' ulteriore problema è la possibilità che, pur esistendo il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann, questo non sia a sua volta integrabile: ad esempio, fissando una [[insieme numerabile|numerazione]] <math>\{q_0,q_1,\ldots,q_n,\ldots\}\,</math> dell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]], e ponendo

:<math>f_n(x)=\Chi_{\{q_0,q_1,\ldots,q_n\}}</math>

si ha una successione di funzioni integrabili (con integrale nullo) che converge puntualmente alla [[funzione di Dirichlet]], che non è integrabile secondo Riemann. Anche in questo caso l'eventuale presenza della convergenza uniforme permette di affermare l'integrabilità della funzione limite.

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per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni devono ovviamente essere [[funzione misurabile|misurabili]], per dare un senso alla successione di integrali; in questo caso non è necessario neppure chiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un' ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività: basta infatti che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> (e quindi, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti). Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.

Un terzo importante risultato, dimostrato a partire dal teorema della convergenza monotona e usato nella dimostrazione della convergenza dominata, è il [[lemma di Fatou]], che afferma che