Integrale di linea: differenze tra le versioni

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Versione delle 16:00, 13 apr 2011

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{{nota disambigua|il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica|[[integrale sui cammini]]}}

In [[matematica]], un '''integrale di linea''' o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.

La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte semplici formule in fisica (per [[lavoro (fisica)|esempio]], <math>W=\vec F\cdot\vec d</math>) hanno analoghi nel continuo formulati in termini di integrali di linea (<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s</math>). L'integrale di linea definisce ad esempio anche il lavoro compiuto su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

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{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie}}

PerDato alcuniun [[campo scalare|campicampo scalariscalare]] ''<math> f'' : '''\mathbb{R'''<sup>''}^n'' \to \mathbb{R}</supmath>, →si '''R''',definisce l'integrale di linea su una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], è definita dacome

:<math>\int_C f = \int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| dt.</math>

:<math>\int_C f = \int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| dt.</math> ,

Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''integrali ellittici di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]]''.

dove il termine <math>ds</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]; se il dominio della funzione ''f'' è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo [r(a),r(b)] (o [r(b),r(a)], qualora fosse r(b)<r(a)). Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''[[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]]''.

{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}