Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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per la continuità delle funzioni lineari.
== Differenziabilità e derivate parziali ==
Se <math>F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione ''differenziabile'' in '''x'''<sub>0</sub>, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in '''x'''<sub>0</sub>.
Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali garantisca la differenziabilità in '''x'''<sub>0</sub>. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali
:<math>F(x,y)=\left\{
\begin{matrix}
0 & (x,y)=(0,0) \\
\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0)
\end{matrix}
\right.</math>
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).
Tuttavia se F è di [[classe C di una funzione|classe]] C<sup>1</sup> in un [[intorno]] di '''x'''<sub>0</sub>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora F è differenziabile in '''x'''<sub>0</sub>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto,
:<math>F\in C^1(\Omega)\quad \Rightarrow\quad F \mbox{ differenziabile in } \Omega\quad\Rightarrow\quad F\in C^0(\Omega) </math>.
==Voci correlate==
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