Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

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Se lo spazio è dotato di una [[spazio topologico|topologia]], è possibile estendere la definizione di base in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di [[limite di una successione]] e di [[serie]].

Se <math> V </math> è uno [[spazio vettoriale topologico]], (ad esempio uno [[spazio di Hilbert]] o [[spazio di Banach|di Banach]]), un insieme ordinato <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti è una '''[[base di Schauder]]''' (o '''topologica''') se lo [[span lineare|spazio da essi generato]] è [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. In altre parole, se ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> può essere approssimato da somme (finite) di vettori in <math> \{v_i\}_{i\in I} </math>, e quindi come limite di una somma infinita di questi:

:<math> v =\sum_{i\in I'} (a_i-v_i), </math>

dove <math>I'\subset I </math> è un sottoinsieme [[numerabile]].