Linearità (matematica): differenze tra le versioni

Versione delle 16:42, 14 apr 2011

Versione delle 16:58, 14 apr 2011

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Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice ''lineare'' se è della forma

:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b = 0 </math>

dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. Un'equazione del genere ammette sempre soluzioni almeno nel campo [[numeri razionali|razionale]]; in particolare, ammette <math>\infty^{r-1}</math> soluzioni reali, dove ''r'' è il numero di coefficienti <math>a_i</math> non nulli; queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve; ad esempio, se <math>a_1 \ne 0</math>, l'equazione di cui sopra ammette le soluzioni

:<math> x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right)</math>

dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.

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con qualche <math>a_i \ne 0</math>. In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero).

=== GraficaLuoghi geometrici ===

La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione

Due enti sono in relazione di linearità se la loro rappresentazione in un [[piano cartesiano]] è una [[retta]] o una semiretta.

:<math>3x + 8y - 2 = 0\,</math>

individua una [[retta]] sul piano (x,y), mentre all'equazione

:<math>x + 2y - z + 1 = 0\,</math>

corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z); queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero, rispettivamente,

:<math>y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}</math>

(rispetto alla coordinata ''y'') e

:<math>z = x + 2y + 1\,</math>

(rispetto alla coordinata ''z'').

==Voci correlate==