Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

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=== Esistenza ===
Qualsiasi sia lo spazio vettoriale ''V'', possiamo sempre trovare una base. VediamoLa il perché (la cosadimostrazione non è banale, e richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale (una dimostrazione elementare, che non chiama il lemma di Zorn, può essere data per gli spazi finitamente generati). Consideriamo la collezione ''I''(''V'') dei sottoinsiemi di ''V'' linearmente indipendenti. È immediato dedurre che l'inclusione ⊂ siaè un [[ordine parziale]] su ''I''(''V''), e che per ogni [[catena (matematica)|catena]] {''B<sub>i</sub>''}, l'insieme ∪ ''B<sub>i</sub>'' siane è un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il lemma di Zorn sappiamo che esiste un insieme massimale linearmente indipendente ''B'' in ''I''(''V''). Adesso è facile concludere che ''B'' è una base, infatti se ''v'' ∈ ''V'' e ''v'' ∉ ''B'', allora per la massimalità di ''B'' l'insieme ''B'' ∪ {''v''} deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari ''a, a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>'' non tutti nulli tali che
:''a v'' + ''a<sub>1</sub> b<sub>1</sub>'' + ... + ''a<sub>n</sub> b<sub>n</sub>'' = 0, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ''b<sub>1</sub>, ..., b<sub>n</sub>'' ∈ ''B
notiamo che ''a'' ≠ 0 (se fosse nulla allora anche gli altri ''a<sub>i</sub>'' dovrebbero esserlo essendo gli elementi di ''B'' linearmente indipendenti), ne deriviamo che ''v'' può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di ''B'', che quindi, oltre a essere linearmente indipendente, genera ''V'', ovvero è una base.