Processo stocastico: differenze tra le versioni
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== Concetti e definizioni ==
Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su un unico [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> finito e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.<br />
Fissando un istante di tempo <math>t'</math>, ad esso corrispondono valori generalmente differenti, ognuno relativo ad una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(t')</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante, quindi, rispetto ad una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale. Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o analogamente la [[Variabile_casuale#Distribuzione_di_probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili <math>X(t_i)</math>.▼
▲Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t
Le situazioni descritte dalle variabili casuali sono dette [[stato di sistema|stati del sistema]] e vengono indicati per esempio con <math>S_0,S_1,S_2,\ldots</math>▼
Lo spazio della variabile tempo, cioè l'insieme <math>T=\{t_i\}</math>, può essere continuo o discreto: nel primo caso si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" (o processo stocastico tempo-continuo), mentre nel secondo caso si parla di processo stocastico "discreto nel tempo" (o processo stocastico tempo-discreto). In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".
▲Le situazioni descritte dalle variabili casuali sono dette [[stato di sistema|stati del sistema]] e vengono indicati per esempio con <math>S_0,S_1,S_2,\ldots</math>
Se la variabile casuale è [[variabile casuale discreta|discreta]] allora si parla di "[[processo stocastico discreto]]", se invece è una [[variabile casuale continua]] allora si parla di "[[processo stocastico continuo]]" (sottinteso "nello spazio degli eventi").
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