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In [[matematica]], e in particolare nell'[[algebra]], la '''distributività''' (o '''proprietà distributiva''') è una proprietà delle [[operazione binaria|operazioni binarie]] che generalizza la ben nota '''legge distributiva''' valida per la somma e la moltiplicazione tra i numeri dell'[[algebra elementare]].
Dato un (insieme) ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che
* l'operazione * è ''distributiva a destra'' rispetto all'operazione + se, dati gli elementi ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'',
:<math>x*(y + z) = (x*y) + (x*z)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>
* l'operazione * è ''distributiva a sinistra'' rispetto all'operazione + se, dati gli elementi ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'':
:<math>(y + z)*x = (y*x) + (z*x)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>
* l'operazione * è ''distributiva'' rispetto all'operazione + se è sia distributiva a destra che distributiva a sinistra.
Si osservi che quando * è [[commutatività|commutativa]], allora le tre condizioni precedenti sono [[equivalenza logica|logicamente equivalenti]].
== Esempi ==
# In tutti gli insiemi [[Numero|numerici]] abitualmente considerati ([[numero naturale|numeri naturali]], [[numero razionale|numeri razionali]], [[numero reale|numeri reali]], [[numero complesso|numeri complessi]], ... [[numero cardinale|numeri cardinali]]) la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Ad esempio:
:: 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)
:Nel membro sinistro dell'espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta allo stesso risultato (20) diciamo che la moltiplicazione per 4 si distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che si può utilizzare qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'uguaglianza, si ha che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è distributiva rispetto all'[[addizione]] di numeri reali.
# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.
# La [[moltiplicazione di matrici]] è distributiva rispetto alla [[somma di matrici]], anche se non è commutativa.
# L'[[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]] è distributiva rispetto all'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]], e l'intersezione è distributiva rispetto all'unione. Inoltre l'intersezione è distributiva rispetto alla [[differenza simmetrica]].
# La [[disgiunzione logica]] ("or") è distributiva rispetto alla [[congiunzione logica]] ("and"), e la congiunzione è distributiva rispetto alla disgiunzione. Inoltre, la congiunzione è distributiva rispetto alla [[disgiunzione esclusiva]] ("xor").
# Per i [[numero reale|numeri reali]] (o per ogni [[insieme totalmente ordinato]]), l'operazione di massimo è distributiva rispetto all'operazione di minimo, e viceversa: max(''a'',min(''b'',''c'')) = min(max(''a'',''b''),max(''a'',''c'')) e min(''a'',max(''b'',''c'')) = max(min(''a'',''b''),min(''a'',''c'')).
# Per gli [[numero intero|interi]], il [[massimo comune divisore]] è distributivo rispetto al [[minimo comune multiplo]], e viceversa: M.C.D.(''a'',m.c.m.(''b'',''c'')) = m.c.m.(M.C.D.(''a'',''b''),M.C.D.(''a'',''c'')) e m.c.m.(''a'',M.C.D.(''b'',''c'')) = M.C.D.(m.c.m.(''a'',''b''),m.c.m.(''a'',''c'')).
# Per i numeri reali, l'addizione è distributiva rispetto all'operazione di massimo, e anche rispetto all'operazione di minimo: ''a'' + max(''b'',''c'') = max(''a''+''b'',''a''+''c'') e ''a'' + min(''b'',''c'') = min(''a''+''b'',''a''+''c'').
La distributività si trova negli [[anello (algebra)|anelli]] e nei [[reticolo (matematica)#Distributività|reticoli distributivi]].
Un anello ha due operazioni binarie (chiamate comunemente "+" e "*"), e uno dei requisiti per un anello è che * sia distributiva rispetto a +.
Molti tipi di numeri (esempio 1) e di matrici (esempio 3) formano anelli.
Un [[Reticolo (matematica)|reticolo]] è un altro tipo di [[struttura algebrica]] con due operazioni binarie, ^ e v.
Se una delle due operazioni (diciamo ^) è distributiva rispetto all'altra (v), allora anche v deve essere distributiva rispetto a ^, e il reticolo è detto distributivo. Si veda anche la [[Teoria degli ordini#Strutture pi.C3.B9 ricche|teoria degli ordini]].
Gli esempi 4 e 5 sono [[algebra booleana|algebre booleane]], che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un [[anello booleano]]) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un [[reticolo booleano]]). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.
Gli anelli e i reticoli distributivi sono entrambi tipi speciali di [[semianello|semianelli]], una generalizzazione degli anelli.
I numeri nell'esempio 1 che non formano anelli formano comunque semianelli.
I [[quasi-anello|quasi-anelli]] sono un'ulteriore generalizzazione dei semianelli, e sono distributivi a sinistra ma non distributivi a destra; l'esempio due è un quasianello.
== Generalizzazioni della distributività ==
In molte aree della matematica si considerano leggi distributive generalizzate. Questo può coinvolgere l'indebolimento delle condizioni della definizione oppure l'estensione a operazioni infinitarie. Soprattutto nella [[teoria degli ordini]], si trovano numerose importanti varianti della distributività, alcune delle quali includono operazioni infinitarie, altre sono definite in presenza di una ''sola'' operazione binaria. Dettagli sulle definizioni e sulle loro relazioni si trovano nell'articolo [[distributività (teoria degli ordini)]]. È inclusa anche la nozione di [[reticolo (matematica)|reticolo '''completamente distributivo''']].
In presenza di una [[relazione d'ordine]], si può indebolire la condizione precedente sostituendo = con ≤ oppure ≥. Naturalmente questo porta a concetti sensati solo in alcune situazioni. Un'applicazione di questo principio è la nozione di '''sottodistributività'''.
== Voci correlate ==
* [[Associatività]]
* [[Commutatività]]
== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/proof-of-distributive-property.lesson Dimostrazione della proprietà distributiva per gli interi, con animazione]
* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/example-distributive-property-addition.solver Animazione di esempi di proprietà distributiva]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Algebra elementare]]
[[Categoria:Strutture algebriche]]
[[ar:توزيعية]]
[[ca:Propietat distributiva]]
[[cs:Distributivita]]
[[de:Distributivgesetz]]
[[el:Επιμεριστική ιδιότητα]]
[[en:Distributive property]]
[[eo:Distribueco]]
[[es:Distributividad]]
[[et:Distributiivsus]]
[[fi:Osittelulaki]]
[[fr:Distributivité]]
[[he:חוק הפילוג]]
[[hu:Disztributivitás]]
[[is:Dreifiregla]]
[[ja:分配法則]]
[[ko:분배법칙]]
[[ms:Kalis agihan]]
[[nl:Distributiviteit]]
[[nn:Distributivitet]]
[[pl:Rozdzielność]]
[[pt:Distributividade]]
[[ru:Дистрибутивность]]
[[sh:Distributivnost]]
[[sl:Distributivnost]]
[[sr:Дистрибутивност]]
[[sv:Distributivitet]]
[[ta:பங்கீட்டுப் பண்பு]]
[[th:สมบัติการแจกแจง]]
[[uk:Дистрибутивність]]
[[ur:توزیعیت]]
[[yi:דיסטריבוטיוו]]
[[zh:分配律]]
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