Funzione omogenea: differenze tra le versioni

Versione delle 16:57, 25 ago 2011

Versione delle 15:57, 6 dic 2011

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=== Dimostrazione alternativa ===

Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]0, \infty[ \rightarrow R</math> condefinita legge:da

:<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^k}.</math>

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ed uguale ad <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un notoDal [[teoremaTeorema di Lagrange]] ciò avviene se e solo la derivata prima di <math>F(xt)</math> è [[Funzione costante|identicamente nulla]] in tutto il suo dominio <math>]0, \infty[</math>. Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[regola della catena|teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:

:<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2k}} \left[\sum_{i=1}^n f_\frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t^{k}-k t^{k-1} f(tx)\right]=
\frac 1 {t^{k+1}}\left[\sum_{i=1}^n f_\frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t - k f(tx)\right].</math>

imponendoImponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

:<math>\sum_{i=1}^n f_\frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t = k f(tx) \quad \forall x \in A, \forall t>0.</math>

sfruttandoSfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

:<math>\sum_{i=1}^n f_\frac{\partial f}{\partial {x_i}}(x) x_i t = k f(x) \quad \forall x \in A</math>

che altro non è che l'identità di Eulero (solo che il prodotto scalare è esplicitato).

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