Base ortonormale: differenze tra le versioni

Versione delle 14:51, 15 set 2011

Versione delle 02:40, 13 mar 2012

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per ogni coppia di vettori '''x''' e '''y''' di <math> V </math>.

==Esempi==

* L'insieme {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} costituisce una base ortogonale e ortonormale di <math>R^3</math>.

* L'insieme {''f''_''n'' : ''n'' ∈ <math>Z</math>} con ''f''_''n''(''x'') = [[funzione esponenziale|exp]](2π''inx'') costituisce una base ortonormale dello spazio complesso [[spazio Lp|L²([0,1])]]. Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle [[Serie di Fourier]].

* L'insieme {''e''_''b'' : ''b'' ∈ ''B''} con ''e''_''b''(''c'') = 1 se ''b''=''c'' e 0 altrimenti costituisce una base ortonormale di [[Spazio l2|''l''²(''B'')]].

==Proprietà==

* Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie al [[teorema di Sylvester]].

* Da ogni base ortogonale si può ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loro [[norma (geometria)|norma]]. Ad esempio, da <math> \{ v_1, v_2 \} </math> che già sappiamo ortogonale, abbiamo

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Queste espressioni hanno senso anche se ''B'' è [[insieme non numerabile|non numerabile]]: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le [[serie di Fourier]] sono un esempio.

* Una base hilbertiana è [[insieme numerabile|numerabile]] se e solo se lo spazio è [[spazio separabile|separabile]]

==Esempi==

* L'insieme <math>\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math> costituisce una base ortogonale e ortonormale di <math>R^3</math>.

* L'insieme {''f''<sub>''n''</submath>\{f_n : ''n'' ∈\in <math>\Z \}</math>} con ''f''<sub>''n''</submath>f_n(''x'') = [[funzionee^{2\pi esponenziale|exp]](2π''inx'')}</math> costituisce una base ortonormale dello spazio complesso [[spazio Lp|L<supmath>L^2</sup>([0,1])]]</math>. Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle [[Serie di Fourier]].

* L'insieme {''e''<sub>''b''</submath>\{e_b : ''b'' ∈\in ''B'' \}</math> con ''e''<sub>''b''</submath>e_b(''c'') = 1</math> se ''<math>b''=''c''</math> e 0 altrimenti costituisce una base ortonormale di [[Spazio l2|''l''<supmath>l^2</sup>(''B'')</math>]].

==Note==