Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni

Versione delle 20:35, 21 ott 2011

Versione delle 18:59, 23 gen 2012

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==Caratteristiche==

Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari.

Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una [[combinazione lineare]] di tutti parametri interni dell'istante precedente e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi anche di quello in entrata; (in tal caso si parla di '''modello improprio'''), la cui caratteristica principale è di rispondere istantaneamente alle variazioni dell'input e dare luogo a anomalie nel calcolo qualora fosse collegato ad anello con altri sistemi impropri.

Algebricamente, i valori in entrata e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso <math>c</math> facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri <math>n</math>, sommato all'entrata moltiplicata per un coefficiente <math>d</math> che nei sistemi impropri è diverso da 0. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in entrata per un vettore <math>b</math> e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice <math>A</math>.

===Linearità===

Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:

*'''linearità''': moltiplicando tutti i valori in entrata per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.

*'''tempo invarianza''': una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").

Data una serie storica di valori di <math> X_t \, </math> , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, diossia una parte [[Modello lineare autoregressivo|autoregressiva (AR)]] e di una parte di [[Modello moving average|media mobile (MA)]].

Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

===Versione discreta e continua===

Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in [[Numeri naturali|N]], è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice <math>A</math> non dconterràconterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la '''[[derivata]]''' di un parametro in funzione dei valori degli altri.

È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al [[teorema di Shannon]], è opportuno scegliere una frequenza di campionamento che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.