Integrale di Lebesgue: differenze tra le versioni
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La definizione è motivata dal fatto che se <math> f = u + iv </math> con <math>u</math> e <math>v</math> sono funzioni reali misurabili su ''E'', allora ''f'' è una funzione complessa e misurabile su ''E''. Inoltre, se ''f'' è una funzione complessa e misurabile su ''E'', allora <math>u</math>, <math>v</math> e <math>|f|</math> sono funzioni reali misurabili su ''E''. Questo discende dal fatto che una funzione continua definita dalla composizione di funzioni misurabili è misurabile.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 11|rudin}}</ref>
==Integrale di Lebesgue e Integrale di Riemann==
L'integrale di Lebesgue è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, e la motivazione risiede nel seguente fatto. Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni continue, a supporto compatto ed a valori in '''R'''<sup>1</sup>. Sia definita una distranza tra le due funzioni nel seguente modo:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 68|rudin}}</ref>
:<math>d(f,g) = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)-g(t)|dt</math>
Il completamento dello spazio metrico definito con la precedente operazione di distanza è lo spazio delle [[funzione misurabile|funzioni]] integrabili secondo Lebesgue, ponendo che due funzioni uguali [[quasi ovunque]] sono uguali.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 69|rudin}}</ref>
== Interpretazione intuitiva ==
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