Georg Cantor: differenze tra le versioni

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Cantor riconobbe che gli [[infinito|insiemi infiniti]] possono avere differenti [[cardinalità]], separò gli [[insieme|insiemi]] in [[numerabile|numerabili]] e [[insieme non numerabile|più che numerabili]] e provò che l'insieme di tutti i [[numero razionale|numeri razionali]] '''Q''' è numerabile mentre l'insieme di tutti i [[numero reale|numeri reali]] '''R''' è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come [[argomento diagonale di Cantor|metodo della diagonale]] di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'[[ipotesi del continuo]].

Durante la seconda metà della sua vita soffri di attacchi di [[depressione]], che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. La scoperta del [[paradosso di Russell]] lo portò a una [[crisi nervosa]] da cui non si seppe più riprendere. Cominciò allora a leggere testi di [[letteratura]] e di [[religione]], in cui sviluppò il suo concetto d'[[infinito assoluto]] che identificò con [[Dio]]. ImpoveritosiEgli durante la [[Prima Guerra Mondiale]], morì ad [[Halle sul Saale|Halle]] dove era ricoverato in un [[ospedale psichiatrico]]. [[Leopold Kronecker]] giudicò le sue scoperte "prive di senso".scrisse:

:"L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, ''in Deo'', che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie ''in abstracto'' come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico".

Cantor realizzò la prima costruzione non contradditoria dell'infinito, trattando l'oggetto più esteso che al momento si conosca in matematica. La sua costruzione distingue tre tipi di infinito che non si toccano e non comunicano mai. Sono dimostrate delle relazioni analitiche tra questi infiniti:

Impoveritosi durante la [[Prima Guerra Mondiale]], morì ad [[Halle sul Saale|Halle]] dove era ricoverato in un [[ospedale psichiatrico]]. [[Leopold Kronecker]] giudicò le sue scoperte "prive di senso".

1) Infinito Potenziale, tipico di una grandezza che cresce indefinitamente, ma assumendo sempre valori finiti. ÈE' l'infinito della tradizione filosofica, del quale non si conosce alcuna relazione analitica con gli altri due tipi.

Cantor diede origine alla [[teoria degli insiemi]] ([[1874]]-[[1884]]). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme <math>A</math>, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di <math>A</math>, chiamato l'[[insieme potenza]] di <math>A</math>. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito <math>A</math> ha una grandezza maggiore della grandezza di <math>A</math> stesso (qesto fatto è oggi noto con il nome di [[teorema di Cantor]]). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri [[numero cardinale (matematica)|cardinali]] e [[numero ordinale (matematica)|ordinali]] transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'[[alfabeto ebraico]] [[aleph]] dotata di un numero naturale come indice; per gli ordinali utilizzò la lettera dell'[[alfabeto greco]] [[omega (lettera)|omega]].

2) Infinito Attuale, che è già esistente, costituito da numeri o enti geometrici (punti, rette, segmenti, superfici e volumi). Secondo Cantor è strutturato su un numero infinito e discreto di livelli (Cantor rigettò l'[[ipotesi del continuo]]). Il dominio dei livelli di infinito è l'insieme (Infinito) dei numeri naturali. Cantor introdusse il simbolo <math>\infty</math>, per denotare l'infinito in matematica.

3) Infinito Assoluto, limite superiore della matematica, inaccesibile all'intelletto umano. Cantor lo denotò col simbolo<math>W</math>. E' legato all'infinito "matematico" dalla relazione: <math>W^{(1 / n)} = \infty</math>.

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno [[slittamento di paradigma]] di prima grandezza.