Funzione intera: differenze tra le versioni

Versione delle 08:45, 23 nov 2011

Versione delle 23:44, 19 lug 2012

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convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''. In effetti, se uno sviluppo della forma precedente esiste per un punto '''c''', allora esso esiste per ogni punto del piano complesso.

== Esempi ==

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

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Altre funzioni intere sono:

* le [[funzioni di Airy]];

* la [[funzione degli errori]] erf(''z'') e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(''z'') e la funzione degli errori immaginaria erfi(''z'');

* la reciproca della [[funzione Gamma]];

* gli [[integrali di Fresnel]];

* la funzione [[Funzioni integrali trigonometriche |seno integrale]];

* le [[Funzione integrale esponenziale |funzioni En]];

* la [[funzione G di Barnes]].

== Crescita ==

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

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dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''m'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^m</math> per una costante ''C'' e per un intero ''m'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''m''.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[Singolarità_isolataSingolarità isolata#Singolarità eliminabile|singolarità eliminabile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

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dove ''M_f''(''r'' ) indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione (intera) <math>\cos\sqrt{z}</math>.

== Zeri ==

Come per ogni funzione olomorfa, l'insieme degli zeri di una funzione intera non può avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, e dunque, in questo caso, nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri è facile costruire una funzione intera che si annulla in quegli zeri (e solo in quelli). Ad esempio, una funzione con zero in 0 di molteplicità ''m'' (può anche essere ''m''=0) e in ''a''₁, ..., ''a''_n, diversi da 0 (ove ogni zero è ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità), è data dal polinomio

:<math>z^m\prod_{n=1}^r \left(1-\frac{z}{a_n}\right).</math>

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:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty.</math>

Se tale serie risulta convergente prendendo gli ''h_n'' tutti uguali ad un numero reale positivo ''a'', il minimo &tau; tra gli ''a'' che soddisfano questa ipotesi viene detto esponente di convergenza della successione {|''a''_''n''|}_''n''. Il [[teorema di Hadamard]] lega l'ordine &lambda; di una funzione intera all'esponente di convergenza &tau; ed al grado del polinomio ''d'': più precisamente si ha

:<math>\lambda=\max(d,\tau).</math>

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Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|anno=1979|editore=McGraw Hill|edizione=terza edizione|id=ISBN 0-07-000657-1}}

== Voci correlate ==

* [[Funzione meromorfa]]

== Collegamenti esterni ==

* {{MathWorld|EntireFunction}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]

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[[de:Ganze Funktion]]

[[en:Entire function]]

[[et:Täisfunktsioon]]

[[fi:Kokonainen funktio]]

[[fr:Fonction entière]]