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<h2>Confronto con gli elementi di Euclide</h2>
<p class="MsoBodyText">L’opera di Euclide si presenta come una esposizione
degli elementi fondamentali della matematica elementare; è priva di
introduzione e di un elenco preliminare di elementi indefiniti, sulla base dei
quali si possono definire gli altri elementi.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">A questo proposito è facile
sollevare obiezioni sulla circolarità logica delle <span style="color:blue">“definizioni”
</span>di Euclide: molte definizioni sono viziate dall’assenza di termini non
precedentemente definiti. Dopo le definizioni, Euclide elenca 5 postulati e 4
nozioni comuni.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">L’opera di Euclide, per la sua
completezza e semplicità, ha primeggiato nell’antichità e nell’epoca più
recente.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Il formalismo hilbertiano</h2>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">L’opera più significativa e
legata a quella di Euclide e <i>I fondamenti della geometria</i> di <span style="color:blue">Hilbert</span>:
è una grande opera di sistemazione della geometria euclidea ma è anche e
soprattutto un lavoro di primaria importanza storica, quale prototipo della
concezione moderna delle teorie assiomatiche. In essa l’autore mette in
rilievo il fatto che i termini non definiti della geometria devono essere
assunti senza attribuire loro altre proprietà oltre quelle indicate negli
assiomi. Analogamente, le relazioni indefinite vanno considerate come semplici
astrazioni che indicano solo una corrispondenza o una rappresentazione.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">Secondo Hilbert non è
necessario assegnare alcun significato preliminare ai concetti indefiniti; gli
elementi quali punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere sostituiti da
tavoli, sedie, e da altri oggetti; basterà che questi enti soddisfino tutti gli
assiomi perché per essi valgano tutte le proprietà geometriche, per esempio,
il <span style="color:blue">teorema di Pitagora</span>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">Gli <span style="color:blue">assiomi</span>
non sono certo verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari,
anche se, di fatto, sono suggeriti dall’esperienza. Pertanto ogni teoria così
concepita può essere interpretata in infiniti modi. Questa concezione delle
teorie matematiche rappresenta il cosiddetto “<span style="color:blue">formalismo
hilbertiano</span>”.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Gli assiomi</h2>
<p class="MsoBodyText">Hilbert suddivide gli assiomi della geometria in 5
gruppi; ciascuno dei quali esprime fatti fondamentali omogenei della nostra
intuizione. Essi sono:</p>
<ol style="margin-top:0cm" start="1" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l2 level1 lfo2;
tab-stops:list 36.0pt">Assiomi di appartenenza (8)</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l2 level1 lfo2;
tab-stops:list 36.0pt">Assiomi di ordinamento (4)</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l2 level1 lfo2;
tab-stops:list 36.0pt">Assiomi di congruenza (5)</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l2 level1 lfo2;
tab-stops:list 36.0pt">Assioma delle parallele</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l2 level1 lfo2;
tab-stops:list 36.0pt">Assiomi di continuità (2)</li>
</ol>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Osservazione</h2>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">Nei <i>Fondamenti della
Geometria</i> di Hilbert, la relazione di “<span style="color:blue">appartenenza</span>”
deve essere considerata come una relazione binaria fra punti e rette e fra punti
e piani; la relazione di ordinamento, “<span style="color:blue">fra</span>”,
come una relazione ternaria fra punti (da intendersi allineati); la relazione di
“<span style="color:blue">congruenza</span>” come una relazione fra enti
(segmenti, angoli).</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Gli assiomi di congruenza</h2>
<ol style="margin-top:0cm" start="1" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l0 level1 lfo3;
tab-stops:list 36.0pt"><i>Dato u segmento AB ed una semiretta di origine O,
esiste almeno un punto M della semiretta tale che AB sia congruente ad OM;
in simboli AB<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>OM.</i></li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l0 level1 lfo3;
tab-stops:list 36.0pt"><i>La congruenza fra segmenti è transitiva, cioè
da AB<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>A’B’
e A’B’<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>A’’B’’
segue AB<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>A’’B’’.</i></li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l0 level1 lfo3;
tab-stops:list 36.0pt"><i>Se A, B, C sono tre punti di una retta, A’,
B’, C’ sono tre punti di una retta, se B sta fra A e C e B’ sta fra
A’ e C’, allora da AB<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>A’B’
e BC<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>B’C’
segue AC<span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span>A’C’.</i></li>
</ol>
<p class="MsoBodyText">Gli assiomi di congruenza definiscono la relazione di
congruenza fra segmenti e fra angoli, e definiscono anche il concetto di
movimento.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Osservazioni</h2>
<ul style="margin-top:0cm" type="disc">
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">L’assioma 1 consente la possibilità del
“trasporto” dei segmenti.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">Dai primi 3 assiomi enunciati segue che la
congruenza fra segmenti è riflessiva, simmetrica e transitiva, per cui è
una relazione di equivalenza. Inoltre è possibile definire la somma di
segmenti ed il confronto fra segmenti.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">L’assioma 3 da alla relazione <i><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol; font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">º</span></i>
il carattere di un a congruenza, cioè di una relazione di equivalenza
invariante rispetto alla somma.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">L’assioma 4 consente il “trasporto” degli
angoli.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">Dai primi quattro assiomi discende il fatto che la
congruenza fra angoli è una relazione di equivalenza. Inoltre si possono
definire la somma ed il confronto di angoli.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">Nell’assioma 5, scambiando B con C, si ha pure che
l’angolo in C è congruente con l’angolo in C’. Per angolo in A si
intende l’angolo di vertice A ed avente le semirette AB ed AC come lati.
Gli angoli in A, B, ed in C si chiamano “<i>angoli del<span style="color:blue">
triangolo</span></i>”</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">Due angoli distinti si dicono “<i>adiacenti</i>”
se hanno lo stesso vertice, un alto in comune e se i due lati non comuni
formano una retta.</li>
<li class="MsoNormal" style="text-align:justify;mso-list:l3 level1 lfo4;
tab-stops:list 36.0pt">Gli angoli adiacenti agli angoli di un triangolo si
dicono “<i>esterni</i>” al triangolo.</li>
</ul>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">
</p>
<h2>Teorema dell’angolo esterno</h2>
<p class="MsoBodyText2"><i>Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di
ciascuno dei due angoli del triangolo che non sono ad esso adiacenti.</i></p>
<h2>Teorema di esistenza di due rette parallele</h2>
<p class="MsoBodyText2"><i>Sia a una retta, ed A un punto non appartenente ad essa;
allora nel piano che contiene A ed a esiste almeno una retta che passa per A ed
è parallela ad a.</i></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify"><u>Dimostrazione</u>:</p>
<p>Sia
B un punto della retta <i>a</i>; congiungendo B con A si trova l’angolo <i>ab</i>.
Utilizzando il teorema del trasporto si costruisca l’angolo in modo che A sia
il vertice e l’altro lato sia <i>c’</i>: i due angoli risultano congruenti.
La retta che contiene la semiretta <i>c’</i> è parallela alla retta <i>a</i>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify">Supponiamo per assurdo che non
lo sia: esiste un punto D di intersezione tra le due rette; si ottiene il
triangolo ABD in cui l’angolo esterno <i>c’b’</i> è congruente
all’angolo interno <i>ab</i>: assurdo per il teorema dell’angolo esterno.</p>
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