Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:04, 25 gen 2012

Versione delle 19:03, 7 feb 2012

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per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni utilizzate devono essere [[funzione misurabile|misurabili]] per dare un senso alla successione di integrali, e non è necessario richiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività, in quanto è sufficiente che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> affinchèaffinché, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti. Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.

Un terzo importante risultato, dimostrato a partire dal teorema della convergenza monotona e usato nella dimostrazione della convergenza dominata, è il [[lemma di Fatou]], che afferma che: