Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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Versione delle 17:11, 30 mag 2012

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== Definizioni ==

=== LinearitàRelazione fralineare piùtra enti ===

Più specificamente, inIn [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> diappartenenti a uno [[spazio vettoriale]] definito sul [[corpo (matematica)|corpo]] <math>\mathcal K</math> si dicono ''[[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]]'' se intercorre tra di essi una relazione del tipo

:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K</math> non sono tutti nulli<ref>SiIl noti[[vettore che il vettorenullo]] <math>\mathbf 0</math> è ''[[indipendenza lineare|linearmente dipendente]]'', poiché vale ad esempio la relazione <math>1 \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref>; se invece l'eguaglianza valeè soddisfatta solo seper tutti<math>a_1 i= coefficienti\ldots <math>a_i= a_n = 0</math> sono nulli, si dice che i vettori sono ''linearmente indipendenti''. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>,

si dice che <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori (generatori), ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore <math>\mathbf v</math> è combinazione lineare di <math>v_1, \ldots, v_n</math> [[se e solo se]] i vettori <math>v_1, \ldots, v_n, v</math> sono linearmente dipendenti.

=== Applicazioni lineari ===

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

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Più in generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]; a seconda della struttura definita su tali insiemi, si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], [[trasformazione lineare|di spazi vettoriali]] (''vedi sopra'') e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].

=== Linearità fra più enti ===

Dati tre enti matematici ''x'', ''y'' e ''z'', e due costanti ''a'' e ''b'', ''z'' risulta in relazione lineare con ''x'' ed ''y'' se:

:<math>z = ax + by\;</math>

Più specificamente, in [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> di dicono ''[[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]]'' se intercorre tra di essi una relazione

:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math> non sono tutti nulli<ref>Si noti che il vettore <math>\mathbf 0</math> è ''linearmente dipendente'', poiché vale ad esempio la relazione <math>1 \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref>; se invece l'eguaglianza vale solo se tutti i coefficienti <math>a_i</math> sono nulli, si dice che i vettori sono ''linearmente indipendenti''. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>,

si dice che <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori (generatori), ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte.

=== Equazioni lineari ===

==== Equazioni algebriche ====