Integrale di linea: differenze tra le versioni

Versione delle 16:27, 30 mag 2012

Versione delle 19:32, 26 dic 2012

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=== Definizione ===

{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}

Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva ''<math>C''</math>, parametrizzata da '''''<math>\mathbf{r'''''}(''t'')</math>, con ''<math>t'' ∈\in [a, b]</math>, come:

:<math>\int_C f\ \operatorname ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t</math> ,

Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], come

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]];. seSe il dominio della funzione ''<math>f''</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''[[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]]''.

:<math>\int_C f\ \operatorname ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t</math> ,

Similmente, per un [[campo vettoriale]] '''<math>\mathbf{F'''} : '''\R'''^{''^n''} →\to '''\R'''<sup>''^n''</supmath>, l'integrale di linea lungo una curva ''<math>C''</math>, parametrizzata da '''''<math>\mathbf{r'''''}(''t'')</math> con ''<math>t'' ∈\in [a, b]</math>, è definito da:

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]; se il dominio della funzione ''f'' è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo [r(a),r(b)] (o [r(b),r(a)], qualora fosse r(b)<r(a)). Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''[[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]]''.

{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}

:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

Similmente, per un [[campo vettoriale]] '''F''' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''n'', l'integrale di linea lungo una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], è definito da

:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

=== Indipendenza dal cammino ===

Se un campo vettoriale '''<math>\mathbf{F'''}</math> è il [[gradiente]] di un campo scalare ''<math>G''</math>, cioè :

:<math>\nabla G = \mathbf{F},</math>

allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di ''<math>G''</math> e '''<math>\mathbf{r'''}(''t'')</math> è:

Se un campo vettoriale '''F''' è il [[gradiente]] di un campo scalare ''G'', cioè

:<math>\nabla G = \mathbf{F},</math>

allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di ''G'' e '''r'''(''t'') è

:<math>\frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>

che è l'integrando dell'integrale di linea di '''<math>\mathbf{F'''}</math> lungo '''<math>\mathbf{r'''}(''t'')</math>. Segue che, dato un cammino ''<math>C''</math>:

:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt}\,\mathrm{d}t = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>

:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt}\,\mathrm{d}t = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>

A parole, l'integrale di '''F''' lungo ''C'' dipende solamente dai valori nei punti

'''r'''(''b'') e '''r'''(''a'') ed è quindi indipendente dal cammino particolare.

A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.

=== Applicazioni ===

L'integrale di linea è spesso usato in fisica. Per esempio, il lavoro svolto su una particella che si muove su una curva ''<math>C''</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale '''<math>\mathbf{F'''}</math> è l'integrale di linea di '''<math>\mathbf{F'''}</math> lungo ''<math>C''</math>.

=== Relazione con l'integrale di linea dell'analisi complessa ===

Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un campo vettoriale corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]] il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una funzione olomorfa è nullo.

Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]] il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una funzione olomorfa è nullo.

== Analisi complessa ==