Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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Versione delle 17:45, 30 mag 2012

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{{vedi anche|Sistema lineare}}

Un [[sistema lineare]] di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di ''tutte'' le equazioni del sistema; equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> ''m''x''n'', il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognita nella ''j''-esima equazione. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>,

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\right.</math>.

Un sistema del genere può essere ''irresolubile'', se non ammette soluzioni; ''determinato'', se ammette una e una sola soluzione; ''indeterminato'', se ammette più di una soluzione<ref>. Se il [[campo (matematica)|campo]] <math>\mathcal K</math> in cui si stanno cercando le incognite ha [[cardinalità]] infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni; inquesto altreperché parole,l'insieme se il campo è <math>\mathbb R</math>, ledelle soluzioni possonodi essereun 0,sistema unalineare oè infinite, ma non, ad esempio, 3.</ref> Unun [[teorema di Rouché-CapelliSpazio_affine#Sottospazi_affini|teorema]]sottospazio mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rangoaffine]] delladi matrice<math>\mathcal AK</math>, cone lapiù risolubilità del sistema.precisamente

:<math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf b) = \mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0) + \mathbf b</math>;

in particolare, lo spazio <math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0)</math> delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

:<math>A \mathbf x = \mathbf 0 \mbox{ e } A \mathbf y = \mathbf 0 \ \Rightarrow A (\lambda \mathbf x + \mu \mathbf y) = \mathbf 0 \ \mbox{ per ogni } \lambda, \mu \in \mathcal K</math>.

Esiste un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] che mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice A con la risolubilità del sistema.

=== Luoghi geometrici ===