Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

Versione delle 13:19, 12 giu 2012

Versione delle 02:14, 24 lug 2012

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=== Prodotto scalare ===

Il [[prodotto scalare]] di due vettori <math>x</math> e <math>y</math> dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è definito come

:<math> \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. \,\!</math>

Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

:<math> \langle x,y \rangle = x_iy_i. \,\!</math>

Infatti il termine <math>x_iy_i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, la sommatoria sui valori di <math>i</math> può essere sottointesa.

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== Indici muti e liberi ==

In una espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano ''muti'' e gli altri sono ''liberi''. Ad esempio, nell'espressione

:<math>v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h\,\!</math>

gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:

:<math>v^i = T^i_h w^h - U^i_k z^k.\,\!</math>

== Notazione astratta degli indici ==