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[[Teorema di Lagrange]] per come fare un enunciato di un teorema.

=== Monotonia a partire dalla derivata ===

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la [[Funzione monotona|monotonia]] di una funzione derivabile se la derivata è non negativa o non positiva.

==== Derivata non negativa ====

Sia ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') ≥ 0 per ogni ''x'' appartenente all'intervallo [''a'',''b'']. Allora per ogni ''x''₁, ''x''₂ appartenenti all'intervallo [''a'',''b''] con ''x''₁ < ''x''₂ si ha che ''f''(''x''₁) ≤ ''f''(''x''₂)

[[Limite di una funzione]] per come indentare una definizione.

===== Dimostrazione =====

Prendiamo due generici punti α e β appartenent all'intervallo chiuso [''a'',''b''] con α < β.

[[Insieme numerabile]] per come dare altre definizioni.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

:<math>\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math>

Dato che ''f<nowiki>'</nowiki>''(x) ≥ 0 per ogni ''x'' si ha che

:<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \ge 0 </math>

Ora dato che α < β per essere vera la formula appena scritta deve essere ''f''(α) ≤ ''f''(β) e visto che questo vale per ogni α e β appartenenti ad [''a'', ''b''] possiamo concludere che la funzione è monotona non decrescente

==== Derivata non positiva ====

Vale anche il teorema opposto, cioè che tutte le funzioni derivabili con derivata prima non positiva sono funzioni monotone non crescenti; la tecnica di dimostrazione è la stessa del teorema precedente.

== Simulazione problema di Monty Hall ==