Utente:Cantor26/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 14:11, 20 ago 2012

Versione delle 14:08, 21 ago 2012

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#il redshift cosmologico non può essere interpretato come effetto Doppler, per ragioni profonde legate alla RG

# scrivere una migliore giustificazione dell'equazione

# risolvere correttamente l'equazione.

|fisica|agosto 2012}}

Secondo la legge di Hubble la velocità di allontanamento delle galassie dell'universo è direttamente proporzionale alla loro distanza dove la costante di proporzionalità è detta costante di Hubble.

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la velocità di allontanamento v è proporzionale a <math>\lambda_r-\lambda_e</math>

ma dalle osservazioni si nota che più la galassia è lontana maggiore risulterà <math>\lambda_r-\lambda_e</math> quindi la distanza d è proporzionale a <math>\lambda_r-\lambda_e</math> e quindi si ottiene la legge di Hubble :

:<math>\ v=Hdlambda_r-\lambda_e</math> quindi la distanza d è proporzionale a

:<math>\lambda_r-\lambda_e</math> e quindi si ottiene la legge di Hubble :

:<math>v=Hd</math>

dove H è la costante di Hubble.

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Se si suppone l'universo omogeneo ed isotropo in base al principio cosmologico e quindi la densità di materia dell'universo data dal rapporto tra la sua massa ed il suo volume è costante fissato un determinato istante di tempo allora, lo spazio tridimensionale si incurva e la curvatura per il principio cosmologico è costante ma in un istante di tempo successivo sia la densità che la curvatura saranno diverse, infatti la densità dipende dal volume e il volume dipende dal raggio di curvatura, per cui visto che per la legge di Hubble l'universo si espande anche il raggio di curvatura varierà nel tempo e quindi anche la densità e la curvatura. Ad esempio una 2-sfera che si può immaginare facilmente si può ottenere facendo incurvare uno spazio bidimensionale e introducendo una terza dimensione, analogamente una 3-sfera si può ottenere facendo incurvare uno spazio tridimensionale solo che risulta più difficile immaginarla, tra l'altro in tal caso introdurre una quarta dimensione spaziale non è assolutamente necessario.

Einstein ha dimostrato che esistono 3 tipi di spazi tridimensionali a curvatura costante contraddistinti dal parametro k:

#lo spazio euclideo a curvatura nulla (k=0) a cui siamo abituati

#lo spazio sferico a curvatura positiva (k=1)

#lo spazio iperbolico a curvatura negativa (k=-1)

Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se noi ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo <math>\theta</math> tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

:<math>\theta</math> tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se noi ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo <math>\theta</math> tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

:<math>\ 2\pi:\theta=2\pi R:l</math>

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:<math>H=\dfrac{R'}{R}</math>

Pertanto la costante di Hubble è il rapporto tra la velocità di espansione dell'universo e il raggio di curvatura dell'universo. Supponendo che la velocità di espansione sia costante si ottiene un moto uniforme e quindi in un tempo pari all'inverso della costante di Hubble (circa 15 miliardi di anni) il raggio dell'universo doveva essere nullo. In realtà l'espansione dell'universo è in accelerazione<ref name="perlmutter">{{cita pubblicazione| autore= [[Saul Perlmutter|S. Perlmutter]] | rivista=Astrophysical Journal | volume=517 | numero=2 | pagine=565&ndash;86 | anno=1999 | titolo=Measurements of Omega and Lambda from 42 high redshift supernovae | arxiv=astro-ph/9812133 | doi=10.1086/307221 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1999ApJ...517..565P}}</ref><ref name="riess">{{cita pubblicazione| autore= A. G. Riess | titolo=Observational evidence from supernovae for an accelerating Universe and a cosmological constant |rivista=Astronomical Journal | anno=1998 | volume=116 | numero=3 | pagine=1009&ndash;38 | arxiv=astro-ph/9805201 | doi=10.1086/300499 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1998AJ....116.1009R}}</ref>accellerazione per cui l'ipotesi di velocità costante è errata e quindi il risultato non è corretto ma da stime più precise risulta che l'universo esiste da 13,7 miliardi di anni.

Facendo un'opportuna semplificazione si può ipotizzare che l'universo sia una 2-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio bidimensionale, di cui abbiamo una netta percezione e non una 3-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio tridimensionale, che rappresenta una delle due possibili alternative di spazi a curvatura costante assieme alla spazio iperbolico.

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con m massa della galassia, M massa complessiva dell'universo, G costante gravitazionale, r raggio di curvatura dell'universo (considerato che la galassia è al bordo della 2-sfera).

PoichéPoichè l'universo è in espansione accellerata per quento visto allora la galassia sarà sottoposta alla forza

:<math> F_{2}=R^{''}(t)m </math>

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che si può scrivere nella forma :

:<math> (R''(t)'=\left(GM-\dfrac{1GM}{R}\right)^{'2} </math>

Posto R'=z allora R''=z'z infatti :

e quindi :

:<math> R''=\dfrac{GM +RAdz}{Rdt} =\dfrac{dz}{dR}\dfrac{dR}{dt}=z'z</math>

Pertanto :

con A costante arbitraria.

:<math>\int zdz=-\int \dfrac{GM}{R^2} </math>

Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili per cui si ha :

:<math>\int \dfrac{Rz^2}{2}=\dfrac{GM+RA}{R} dR=dt +c</math>

con Ac costante arbitraria. e quindi:

Risolvendo il semplice integrale di una funzione razionale fratta si ha :

:<math> \dfrac{RdR}{Adt} =z=+-\sqrt{\dfrac{2(GM+cR)}{A^{2R}}\log|RA+GM|-(t-B)=0 </math>

da cui :

con B costante arbitraria.

:<math> R^{''}(t)=-\frac{1}{2}int\left[2\left(\dfrac{A-1GM+cR}{A^2R}\right)^{2}+\dfrac{2}{AGM}(t-B)\right]^{-\frac{31}{2}}<0dR=\int dt</math>

Sviluppando in serie di Taylor il logaritmo si ottiene :

:<math> \dfrac{1}{2AGM}R^{2}+\dfrac{A-1}{A^2}R-(t-B)=0 </math>

Utilizzando il programma wxMaxima per risolvere l'integrale si ottiene:

Trascurando la soluzione negativa si ottiene il raggio di curvatura dell'universo :

:<math>{{G\,M\,\log R(t)=AGM \left[-\left(\dfrac{A-1}{A^2}\right)+\sqrt{{{c\left(,R+G\dfrac{A-1}{A^2,M}\right)^over{2R}}}+-\dfracsqrt{2c}{AGM}(t-B)}\right] </math>over{

\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,

\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2

}}}}}=t-b</math>

con Bb costante arbitraria., oppure in altra forma :

:<math>{{-\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}+\sqrt{c}\,\sqrt{R}

\right)+\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}-\sqrt{c}\,\sqrt{

R}\right)+2^{{{3}\over{2}}}\,\sqrt{c}\,\sqrt{R}\,\sqrt{c\,R+G\,M}

}\over{4\,c^{{{3}\over{2}}}}}=t-b </math>

Definita la funzione :

:<math>t = \varphi(R) = {{G\,M\,\log \left({{\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}-\sqrt{c}}\over{

\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,

\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2

}}}}}+b </math>

Essendo :

:<math>\varphi'(R)=\left[2\left(\dfrac{GM+cR}{R}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}>0</math>

allora la funzione <math>\varphi(R)</math> è sempre crescente per cui esiste la sua funzione inversa R(t) che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e risulta simmetrica a <math>\varphi(R)</math> rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante degli assi cartesiani per cui studiando la funzione <math>\varphi(R)</math>, si ottiene:

:<math>R(t)=\varphi^{-1}(t) </math>

Quindi poiché risulta :

In particolare si nota :

:<math> \lim_{tR \to +\infty 0} \varphi(R(t)=+\infty b</math>

quindi il raggio diverge a :<math>\lim_{R \to +\infty } \varphi(R)=+\infty </math>.

:<math> R^{\varphi''}(tR)=\left[\left(\dfrac{A-1}{A^2G\,M}\right)^over{2^{{{3}+\dfracover{2}{AGM}(t-B)}\right],R^{-2\frac,\left({1{c\,R+G\,M}\over{2R}}>0 </math>

\right)^{{{3}\over{2}}}}}>0</math>

quindi il raggio cresce sempre al crescere del tempo.

La funzione <math>\varphi(R)</math> risulta sempre crescente, convessa e divergente a <math>+\infty </math> e conseguentemente la funzione R(t) risulta per la simmetria crescente,concava e divergente a <math>+\infty </math> .

:<math> R^{''}(t)=-\frac{1}{2}\left[\left(\dfrac{A-1}{A^2}\right)^{2}+\dfrac{2}{AGM}(t-B)\right]^{-\frac{3}{2}}<0 </math>

Inoltre la funzione <math>\varphi(R)</math> incontra l'asse delle ascisse in un tempo <math> t_{*}=b </math> in cui il raggio è nullo . In particolare :

quindi la funzione R(t) è concava .

:<math>\varphi^{-1}(0)=0 \quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0 </math>

SiMa notaper inoltrela chesimmetria incontradelle l'asse2 dellefunzioni, ascisseanche R(t) si annulla in un tempo <math> t_{*}=Bb </math> inper cui il raggio è nullo . In particolare :

:<math>R(0)=0 \quad implica\Longrightarrow \quad t_{*}=Bb=0 </math>

Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:

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Ma una densità infinita non può esistere . Ciò comporta l'esistenza di una singolarità cosmologica in cui il raggio dell'universo era nullo. Sotto ipotesi molto più generali , utilizzando la relatività generale i fisici Hawking e Penrose hanno dimostrato che la singolarità R=0 esiste . Per lunghezze inferiori alla lunghezza di Planck bisogna tenere conto della meccanica quantistica, ma tuttora non esiste una teoria della gravità quantistica.

==Bibliografia==