Risposta libera: differenze tra le versioni

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La '''risposta libera''' di un [[sistema dinamico]] (anche detta "risposta libera nello stato" in quanto interessa le [[variabili di stato]]) è la risposta del sistema agli ingressi precedenti il tempo scelto come istante iniziale, cioè precedenti lo stato iniziale <math>x (t=0)</math>.Il comportamento del sistema dipende dalle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema.

La '''risposta libera nello [[variabili di stato|stato]]''' a partire dallo stato iniziale <math>x_0</math> rappresenta l'evoluzione dello stato di un [[sistema dinamico]] nell'ipotesi che nell'intervallo di osservazione <math>[t_0,t[</math> sia nullo l'ingresso ''u(t)'', cioè il [[Vettore (matematica)|vettore]] delle variabili su cui si agisce, a seconda delle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema, per modificare l'andamento o [[traiettoria dello stato]] (in [[Funzione (matematica)|funzione]] del tempo ''t'').

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la [[matrice]] A sia [[diagonalizzabile]] con [[autovalori]] [[reali]] si è dimostrato

che la risposta libera nello stato risulta:

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la [[matrice]] A sia [[diagonalizzabile]] con [[autovalori]] [[reali]] si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

:<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

dove le colonne della matrice P sono gli autovettori <math>v_1,v_2,...,v_n</math> di A relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>; <math>P^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di P e <math>e^{\Lambda(t-t_{0})}</math> l'[[esponenziale di matrice|esponenziale]] della matrice degli autovettori.

Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere:

:<math>x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cccc}

v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\

v_{12} & v_{22} & \cdots & v_{n2} \\

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dove <math>\alpha_i(0)</math> è il prodotto della riga i-esima della matrice <math>P^{-1}</math> per lo stato iniziale x(0).

Sviluppando i [[prodotto matriciale|prodotti matriciali]] si ottiene:

<math>x_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i</math>

:<math>x_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i</math>

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i</math> viene detta '''modo aperiodico''' i-esimo. Un modo si dice '''eccitato''' se compare nella risposta libera nello stato.

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi.

In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i</math> allora si ha:

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i</math> viene detta '''modo aperiodico''' i-esimo. Un modo si dice '''eccitato''' se compare nella risposta libera nello stato.

<math>P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c}

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi. In particolare, si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i</math> allora si ha:

:<math>P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c}

0 \\

\vdots \\

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e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato. Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>

Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]] sempre nell'ipotesi che <math>t_0=0</math> e che T sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

sempre nell'ipotesi che <math>t_0=0</math> e che T sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

:<math>x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

\cos \omega t & \sin \omega t \\

-\sin \omega t & \cos \omega t

\end{array}\right)T^{-1}x(0)</math>

Posto :

:<math>x(0)=T\left(\begin{array} {c}

M\sin\beta \\

M\cos\beta\\

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si ha:

:<math>x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc}

v_{11} & v_{21} \\

v_{12} & v_{22} \\

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\end{array}\right)</math>

:<math>x_{l}(t)=

e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

v_1\cos\omega t - v_2\sin\omega t & v_1\sin\omega t + v_2\cos\omega t \\

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\end{array}\right)</math>

:<math>\emph x_{l}(t)=

Me^{\alpha t}\sin(\omega t+ \beta)v_1+Me^{\alpha t}\cos(\omega t+ \beta)v_2 </math>

Tale termine viene detto '''modo pseudoperiodico''' di ampiezza <math>Me^{\alpha t}</math> e fase <math>\beta</math>.

In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori <math>v_1,v_2</math>.

Questa traiettoria partendo da x(0) converge verso l'origine per <math>\alpha<0</math>, diverge per <math>\alpha>0</math> o degenera in curva chiusa per <math>\alpha=0</math>