Doppio pendolo: differenze tra le versioni
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▲[[Image:Double-Pendulum.svg|right|thumb|180px|Il doppio pendolo è costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. <!--A double pendulum consists of two [[pendulum]]s attached end to end.-->]]
Il '''doppio pendolo''' è un sistema [[fisica|fisico]] costituito da due [[pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle [[condizioni iniziali]] e, per alcuni valori dell'[[energia]], il suo moto è [[Sistema caotico|caotico]].
==Analisi==
Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere [[pendolo semplice|pendoli semplici]] o [[pendolo composto|composti]] (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza <math>\ell</math> e le masse <math>m</math>, e il moto è limitato ad un piano.
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y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).
</math>
Con queste informazioni si può scrivere la [[lagrangiana]] del sistema.
===Lagrangiana===
La lagrangiana è
:<math>
\begin{align}L & = \mathrm{
& = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
& = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}
</math>
Il primo termine è l'[[energia cinetica]] di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'[[energia potenziale gravitazionale]] assumendo una accelerazione costante <math>g</math>. La notazione <math>{\dot x}</math> indica la [[derivata]] rispetto al tempo ([[notazione di Newton]]).
Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova
:<math>
L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).
</math>
[[
[[
L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono [[momento generalizzato|momenti generalizzati]] conservati. I due momenti possono essere scritti come
:<math>
p_{\theta_1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]
</math>
e
:<math>
p_{\theta_2} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ].
</math>
Invertendo queste espressioni si trova
:<math>
{\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}
</math>
e
:<math>
{\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.
</math>
Le altre equazioni del moto sono
:<math>
{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]
</math>
e
:<math>
{\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}
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</math>
Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ<sub>1</sub> e θ<sub>2</sub> in funzione del tempo{{cn}}. Si può tuttavia usare un'[[integrazione numerica]], ad esempio con i [[metodi di Runge-Kutta]].
==
[[
Il bordo della regione bianca è definita in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva
:<math>
3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2. \,
</math>
All'interno della regione definita da questa curva, cioè se
:<math>
3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2, \,
</math>
è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.
La mancanza di una frequenza di eccitazione ha portato a usare un sistema a doppio pendolo ne progetto di [[Ingegneria sismica|edifici antisismici]], in cui l'edificio stesso è un [[pendolo invertito]], e una massa secondaria completa il doppio pendolo.
==Bibliografia==▼
*{{Cita libro
| cognome = Meirovitch
Riga 114 ⟶ 103:
| id=ISBN 0-07-041342-8
}}
==Collegamenti esterni==
* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).
* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''
* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum]'', ''(Java applet simulation.)''
* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).
*
*[http://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video]
*
*
*
* [http://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] -
* Vadas Gintautas, [[Alfred Hubler|Alfred Hübler]] (2007). [http://pre.aps.org/abstract/PRE/v75/i5/e057201 Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201] Articolo che preseta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.
▲*Animations and explanations of a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/ double pendulum] and a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/ physical double pendulum (two square plates)] by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
▲*[http://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] of a double square pendulum with three (almost) identical starting conditions.
▲*Double pendulum physics simulation from [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]
▲*Simulation, equations and explanation of [http://www.chris-j.co.uk/rott.php Rott's pendulum]
▲*Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions on [http://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]
▲* [http://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - An open source simulator written in [[C++]] using the [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].
▲==Bibliografia==
{{Portale|meccanica}}
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