Doppio pendolo: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
continuo traduzione
completo traduzione, -t,-s
Riga 1:
[[ImageFile:Double-Pendulum.svg|right|thumb|180px|Il doppio pendolo è costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. <!--A double pendulum consists of two [[pendulum]]s attached end to end.-->]]
{{T|lingua=inglese|argomento=fisica|data=maggio 2011}}
{{S|fisica}}
[[Image:Double-Pendulum.svg|right|thumb|180px|Il doppio pendolo è costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. <!--A double pendulum consists of two [[pendulum]]s attached end to end.-->]]
 
Il '''doppio pendolo''' è un sistema [[fisica|fisico]] costituito da due [[pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle [[condizioni iniziali]] e, per alcuni valori dell'[[energia]], il suo moto è [[Sistema caotico|caotico]].
 
==Analisi==
Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere [[pendolo semplice|pendoli semplici]] o [[pendolo composto|composti]] (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza <math>\ell</math> e le masse <math>m</math>, e il moto è limitato ad un piano.
Riga 24 ⟶ 23:
y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).
</math>
Con queste informazioni si può scrivere la [[lagrangiana]] del sistema.
<!--
 
===Lagrangiana===
 
La lagrangiana è
===Lagrangian===
 
The [[Lagrangian]] is
:<math>
\begin{align}L & = \mathrm{KineticEnergia~Energycinetica} - \mathrm{PotentialEnergia~Energypotenziale} \\
& = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
& = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}
</math>
The first term is the ''linear'' [[kinetic energy]] of the [[center of mass]] of the bodies and the second term is the ''rotational'' kinetic energy around the center of mass of each rod. The last term is the [[potential energy]] of the bodies in a uniform gravitational field. The dot-notation indicates the [[time derivative]] of the variable in question.
 
Il primo termine è l'[[energia cinetica]] di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'[[energia potenziale gravitazionale]] assumendo una accelerazione costante <math>g</math>. La notazione <math>{\dot x}</math> indica la [[derivata]] rispetto al tempo ([[notazione di Newton]]).
Substituting the coordinates above and rearranging the equation gives
 
Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova
:<math>
L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).
</math>
 
[[ImageFile:double-compound-pendulum.gif|right|frame|MotionMoto ofdi theun doubledoppio compoundpendolo pendulumcomposto (fromcalcolato numericalcon integration[[integrazione ofnumerica]] thedelle equationsequazioni ofdel motionmoto).]]
[[ImageFile:DPLE.jpg|right|thumb|216px|LongFoto exposurepresa ofcon doublelunga pendulumesposizione exhibitingdi chaoticun motiondoppio (trackedpendolo, withtracciato ancon un [[LED]]). Si nota il moto caotico.]]
 
There is only one conserved quantity (the energy), and no conserved [[generalized momentum|momenta]]. The two momenta may be written as
L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono [[momento generalizzato|momenti generalizzati]] conservati. I due momenti possono essere scritti come
 
:<math>
p_{\theta_1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]
</math>
e
and
:<math>
p_{\theta_2} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ].
</math>
 
Invertendo queste espressioni si trova
These expressions may be inverted to get
 
:<math>
{\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}
</math>
e
and
:<math>
{\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.
</math>
 
Le altre equazioni del moto sono
The remaining equations of motion are written as
 
:<math>
{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]
</math>
e
 
and
 
:<math>
{\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}
Riga 78 ⟶ 72:
</math>
 
Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ<sub>1</sub> e θ<sub>2</sub> in funzione del tempo{{cn}}. Si può tuttavia usare un'[[integrazione numerica]], ad esempio con i [[metodi di Runge-Kutta]].
These last four equations are explicit formulae for the time evolution of the system given its current state. It is not possible to go further and integrate these equations analytically, to get formulae for θ<sub>1</sub> and θ<sub>2</sub> as functions of time. It is however possible to perform this integration numerically using the [[Runge–Kutta methods|Runge Kutta]] method or similar techniques.
 
==ChaoticMoto motioncaotico==
[[ImageFile:Double_pendulum_flips_graph.png|thumb|GraphGrafico ofdel thetempo timenecessario forperché theil pendulumpendolo tosi flipcapovolga, overin asfunzione adelle functioncondizioni of initial conditionsiniziali]].
 
TheIl doubledoppio pendulumpendolo undergoessi muove con [[chaoticsistema motioncaotico|moto caotico]], anded showsè amolto sensitivesensibile dependence onalle [[initialcondizioni conditionsiniziali]]. L'immagine Thea imagedestra tomostra theil righttempo showstrascorso theprima amountche ofil elapsedpendolo timesi before the pendulum "flips overcapovolge," asin afunzione functiondelle ofcondizioni initial conditions. Here,iniziali; theil initialvalore valueiniziale ofdi θ<sub>1</sub> ranges(direzione alongorizzontale thenel ''x''-direction,grafico) fromva da &minus;3 toa 3. The initial, valuee θ<sub>2</sub> ranges(direzione alongverticale thenel ''y''-direction,grafico) fromva da &minus;3 toa 3. Il Thecolore colourindica ofse eachuno pixeldei indicatesdue whetherpendoli eithersi pendulumcapovolge flips withinentro <math>10\sqrt{\ell/g }</math> (greenin verde), withinentro <math>100\sqrt{\ell/g }</math> (redrosso), <math>1000\sqrt{\ell/g }</math> (purpleviola) or <math>10000\sqrt{\ell/g }</math> (blueblu). Le Initialcondizioni conditionsiniziali thatche don'tnon leadportano toal acapovolgimento flip withinentro <math>10000\sqrt{\ell/g }</math> aresono plottedin whitebianco.
 
The boundary of the central white region is defined in part by energy conservation with the following curve:
 
Il bordo della regione bianca è definita in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva
:<math>
3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2. \,
</math>
All'interno della regione definita da questa curva, cioè se
 
Within the region defined by this curve, that is if
 
:<math>
3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2, \,
</math>
è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.
 
La mancanza di una frequenza di eccitazione ha portato a usare un sistema a doppio pendolo ne progetto di [[Ingegneria sismica|edifici antisismici]], in cui l'edificio stesso è un [[pendolo invertito]], e una massa secondaria completa il doppio pendolo.
then it is energetically impossible for either pendulum to flip. Outside this region, the pendulum can flip, but it is a complex question to determine when it will flip.
 
==Bibliografia==
The lack of a natural excitation frequency has led to the use of double pendulum systems in seismic resistance designs in buildings, where the building itself is the primary inverted pendulum, and a secondary mass is connected to complete the double pendulum.
 
==See also==
* [[Pendulum (mathematics)]]
 
==References==
*{{Cita libro
| cognome = Meirovitch
Riga 114 ⟶ 103:
| id=ISBN 0-07-041342-8
}}
 
==Collegamenti esterni==
* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).
* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''
* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum]'', ''(Java applet simulation.)''
* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).
*AnimationsAnimazioni ande explanationsspiegazioni ofdi aMike Wheatland (Univ. Sydney): [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/ double pendulum] and a, [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/ physical double pendulum (two square plates)] by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
*[http://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] ofdi aun doubledoppio squarependolo pendulumcon withtre threecondizioni iniziali (almostquasi) identical starting conditionsidentiche.
*DoubleSimulazioni pendulum physics simulation fromda [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]
*SimulationSimulationi, equationsequazioni ande explanationspiegazioni ofdel [http://www.chris-j.co.uk/rott.php Rott'sPendolo pendulumdi Rott]
*ComparisonVideo videosdi ofconfronto adi doubleun pendulumdoppio withpendolo thecon samele initialstesse startingcondizioni conditionsiniziali onsu [http://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]
* [http://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - AnSimulatore openopensource source simulator writtenscritto in [[C++]] usingusando theil [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].
* Vadas Gintautas, [[Alfred Hubler|Alfred Hübler]] (2007). [http://pre.aps.org/abstract/PRE/v75/i5/e057201 Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201] Articolo che preseta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.
 
==External links==
*Animations and explanations of a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/ double pendulum] and a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/ physical double pendulum (two square plates)] by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
*[http://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] of a double square pendulum with three (almost) identical starting conditions.
 
*Double pendulum physics simulation from [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]
 
*Simulation, equations and explanation of [http://www.chris-j.co.uk/rott.php Rott's pendulum]
 
*Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions on [http://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]
* [http://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - An open source simulator written in [[C++]] using the [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].
 
* [http://www.imaginary2008.de/cinderella/english/G2.html Online Java simulator] of the [[Imaginary_(exhibition)|Imaginary exhbibition]].
 
[[Category:Pendulums]]
[[Category:Chaotic maps]]
 
[[de:Doppelpendel]]
[[et:Kaksikpendel]]
[[es:doble péndulo]]
[[fr:pendule double]]
[[sv:Dubbelpendel]]
-->
 
==Bibliografia==
*{{Cita libro
| cognome = Meirovitch
| nome = Leonard
| anno = 1986
| titolo = Elements of Vibration Analysis
| edizione = 2nd edition
| editore = McGraw-Hill Science/Engineering/Math
| id=ISBN 0-07-041342-8
}}
* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).
* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''
* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum]'', ''(Java applet simulation.)''
* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).
 
{{Portale|meccanica}}