Integrale di linea: differenze tra le versioni

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== Analisi complessa ==

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia ''<math>U'' \subset \C</math> un [[insieme aperto]], disia [[numeri complessi|'''C''']], γ<math>\gamma : [''a'', ''b''] →\to ''U'' sia</math> una [[curva rettificabile]] e ''<math>f'' : ''U''u →\to '''\C''' sia</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:

:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>

può essere definito suddividendo l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[''a'', ''b'']</math> in ''<math>a'' = ''t''₀t_0 < ''t''₁t_1 < ...t_2 <\dots ''t''_''n'' t_n = ''b''</math> e considerando l'espressione:

:<math>\sum_{1 \le k \le n} f\big(\gamma(t_k)\big) \big(\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})\big).</math>

L'integrale è allora il [[limite (matematica)|limite]] di questa somma, per la lunghezza delle suddivisioni tendente a zero.

Se γ<math>\gamma</math> è una curva [[differenziabile]] con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale:

:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z =\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t</math>

=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

Quando γ<math>\gamma</math> è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione:

:<math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>

è spesso usata per l'integrale di linea di ''<math>f''</math> su γ<math>\gamma</math>.

Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

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=== Esempi ===

Si consideri una funzione ''<math>f''(''z'') = 1 /'' z''</math>, e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da :

Si consideri una funzione ''f''(''z'')=1/''z'', e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da

:<math> \gamma(t)= \mathrm{e}^{it} </math>

Sostituendo, si trova:

:<math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over \mathrm{e}^{it}} i\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i</math>

che può anche essere verificato con la [[formula integrale di Cauchy]].