Integrale di linea: differenze tra le versioni

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== Analisi complessa ==

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. VedendoSia i<math>U numeri\subset complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di\C</math> un [[campoinsieme vettorialeaperto]], corrispondesia alla<math>\gamma parte: reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Per l'[[equazionea,b] di\to Cauchy-Riemann]]U</math> iluna [[rotorecurva (matematica)|rotorerettificabile]] dele campo<math>f vettoriale: corrispondenteu al\to coniugato di\C</math> una [[funzione. olomorfa]]Allora èl'integrale nullo.di linea:

Sia <math>U \subset \C</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : u \to \C</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:

:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>

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è spesso usata per l'integrale di linea di <math>f</math> su <math>\gamma</math>.

Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un [[campo vettoriale]] corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Nello specifico, se:

Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

:<math>\mathbf{r} (t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j} \qquad f(z)=u(z)+iv(z)</math>

allora:

:<math>\int_L \overline{f(z)}\,dz = \int_L (u-iv)\,dz = \int_L (u\mathbf{i}+v\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r} - i\int_L (v\mathbf{i}-u\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r}</math>

a condizione che gli integrali alla destra esistono e che la parametrizzazione <math>\gamma</math> di <math>L</math> abbia la stessa orientazione di <math>\mathbf{r}</math>.

Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]], il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo. Per il [[teorema dei residui]], inoltre, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale. (vediImportanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema deiintegrale residuidi Cauchy]] pere esempi)la [[formula integrale di Cauchy]].

=== Esempi ===