Operatore differenziale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]],Operatore solitamente [[trasformazione lineare(matematica)|lineareoperatore]], definito come una funzione dell'operatore di [[derivata|differenziazionederivazione]].

Solitamente si considerano operatori differenziali [[trasformazione lineare|lineare]], esposti nel seguito.

==Notazioni==

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math> quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata, e <math>D_x</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione ''D'' è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma:

:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>

nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]]. Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}</math>

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come:

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

==Operatori differenziali lineari==

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In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

===Proprietà===

Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:

# :<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC</math>

# <math>(A \cdot B) f = A(Bf)</math>

# <math>(AB)C = A(BC)</math>

# <math>A(B+C) = AB + AC</math>

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

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:<math>AB - BA = [A,B]</math>

possiamosi può dire che due operatori commutano se e solo se: <math>[A,B]=0</math>.

===Polinomi===

Ogni polinomiale[[polinomio]] in ''<math>D''</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

# :<math>(AD_1 \cdotcirc BD_2) (f) = AD_1 [D_2(Bff)]</math>

:(''D''₁o''D''₂)(f) = ''D''₁ [''D''₂(''f'')].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''<submath>2D_2</submath> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''<submath>1D_1</submath> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]]: poichè un operatore ''<math>gD''</math> non è in generale uguale a ''<math>Dg''</math>. Per esempio, si veda la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]:

:<math>Dx -xD = 1 \ </math>

Il sottoanello didegli operatori che sono polinomialipolinomi in ''<math>D''</math> con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

===Potenza===

Definiamo '''potenza ennesima''' di un operatore:

:<math>F(A) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n A^n</math>

seSe la funzione <math>F(A)</math> è sviluppabile in serie di potenze:

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n</math>

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{{vedi anche|Operatore aggiunto}}

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

l' '''[[operatore aggiunto|aggiunto]]''' di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che:

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx </math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n c_k(-1)^k D^k [a_k(x)u]</math>

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u]</math>.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine ''<math>L''</math> può essere scritto nella forma:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;</math>

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Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

: <math>TL^*u = \sum_{k=0}(-1)^n2 D^2 [(-p)u] + (-1)^k1 D^k [a_k(x-p')u] + (-1)^0 (qu) =</math>.

: <math>\begin{matrix}

L^*u: &<math>=& (-1)^2 D^2 [(-ppu)u] + (-1)^1 D [(-p')u] )+qu = -(-1pu)^0 ''+(p'u)'+qu) \\=</math>

&: <math>=& -D^2(p''u-2p'u'-pu) ''+ D(p''u)+p'u'+qu \\=</math>

&: <math>=& -(p'u'-pu)''+qu = -(ppu'u)'+qu \\= Lu</math>

&=& -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\

&=& -p'u'-pu''+qu \\

&=& -(pu')'+qu

&=& Lu\\

\end{matrix}</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]])

==Più variabiliNotazioni==

Il più comunesemplice operatore differenziale è la [[derivata]]. ComuniUna notazioninotazione sonocomune è <math>{d \over dx}</math>, o <math>DD_x</math>, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata, esi usa solo <math>D_xD</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione ''<math>D''</math> è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma: <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

La stessa costruzione può essere usata con le [[derivata parziale|derivate parziali]].

nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]]. Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

==Voci correlate==

* [[Operatore ellittico]]

* [[Operatore parabolico]]

* [[Operatore iperbolico]]

* [[Derivata parziale]]

* [[Operatore differenziale lineare]]

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}</math>

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come:

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

== Voci correlate ==

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica]]

* [[Equazione delle onde]]

* [[Derivata parziale]]

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