Calcolo combinatorio: differenze tra le versioni

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Versione delle 20:38, 24 gen 2013

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In quanti modi possibili possiamo anagrammare la parola "MONTE", contando anche le parole prive di significato:

MONTE n=5;

P5 = 5 ×× 4 ×× 3 ×× 2 ×× 1 = 120 modi di anagrammare la parola ATRIO. N.B: nella parola ATRIO nessuna lettera si ripete.

Per completare meglio la definizione di fattoriale fissiamo anche i valori seguenti:

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=== Disposizioni semplici (senza ripetizioni) ===

Una '''disposizione semplice''' di lunghezza ''k'' di elementi di un insieme ''S'' di ''n'' oggetti, con ''k'' ≤≤ ''n'', è una presentazione ordinata di ''k'' elementi di ''S'' nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto.

Per avere il numero di queste configurazioni si considera che il primo componente di una tale sequenza può essere scelto in ''n'' modi diversi, il secondo in (''n''-1) e così via, sino al ''k''-esimo che può essere scelto in (''n''-''k''+1) modi diversi. Pertanto il numero ''D''_n,k di disposizioni semplici di ''k'' oggetti estratti da un insieme di ''n'' oggetti è dato da:

:<math>D_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)

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Si osserva che può anche essere ''k'' > ''n''

== Combinazioni (sequenze '''NON''' ordinate) ==

{{vedi anche|Combinazione}}

=== Combinazioni semplici (senza ripetizioni) ===

Si chiama '''combinazione semplice''' una presentazione di elementi di un insieme nella quale non ha importanza l'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso elemento più volte. La collezione delle combinazioni di ''k'' elementi estratti da un insieme ''S'' di ''n'' oggetti distinti si può considerare ottenuta dalla collezione delle disposizioni semplici di lunghezza ''k'' degli elementi di ''S'' ripartendo tali sequenze nelle [[Classe_di_equivalenzaRelazione di equivalenza|classi]] delle sequenze che presentano lo stesso sottoinsieme di ''S'' e scegliendo una sola sequenza da ciascuna di queste classi. Ciascuna delle suddette classi di sequenza di lunghezza ''k'' contiene ''k''! sequenze, in quanto accanto a una sequenza &sigma;σ si hanno tutte e sole quelle ottenibili permutando i componenti della &sigma;σ. Quindi il numero delle combinazioni semplici di ''n'' elementi di lunghezza ''k'' si ottiene dividendo per ''k''! il numero delle disposizioni semplici di ''n'' elementi di lunghezza ''k'':

:<math>C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{P_k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = {n \choose k}</math>

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* [[Combinazione]]

* [[Dismutazione (matematica)]]

* [[BinomioTeorema di Newtonbinomiale]]

==Altri progetti==