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L' '''operatore densità''', o '''matrice densità''', è utilizzato in [[Meccanica quantistica]] per descrivere lo stato statistico di un [[sistema quantistico]]. Il formalismo venne introdotto da [[John von Neumann]] (altre fonti sostengono che venne introdotto indipendentemente anche da [[Lev Landau]] e [[Felix Bloch]] ) nel 1927.

E' l'analogo quantistico della [[distribuzione di probabilità]] nello [[spazio delle fasi]] in [[meccanica classica]].

La necessità di una descrizione statistica emerge perchè non è possibile descrivere un sistema quantistico che sia sottoposto ad una generica [[operazione quantistica]], come ad esempio una [[misura]], usando esclusivamente stati rappresentati da [[notazione bra-ket|vettori ket]].

Un sistema in generale è detto essere in uno [[stato misto]], eccetto nel caso lo stato non sia riducibile ad una [[combinazione convessa]] di altri stati. In questo caso lo stato è detto [[stato puro]].

Situazioni tipiche in cui un operatore densità è richiesto includono: uno stato quantistico in equilibrio termico ( a temperature finite) e nel caso di [[entanglement quantistico| entanglement]] tra due sistemi, in tal caso ogni sistema è in uno stato misto anche se lo stato del sistema complessivo può essere puro. Si veda [[meccanica statistica quantistica]].

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== Formalismo ==

L'operatore densità, comunemente chiamato &rho;, è un operatore sullo [[Spazio di Hilbert]] del sistema in questione. Nel caso speciale di uno stato puro è dato dall'[[operatore di proiezione]] dello stato. Per uno stato misto , dove il sistema è nello stato <math> |\psi_j \rang </math> con probabilità p_j, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:

di uno stato puro è dato dall'[[operatore di proiezione]] dello stato. Per uno stato misto , dove il sistema

è nello stato <math> |\psi_j \rang </math> con probabilità p_j, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:

:<math> \rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j| </math>

L'operatore densità è utilizzato per calcolare i [[valore di aspettazione|valori di aspettazione]] di ogni osservabile A del sistema, mediato su tutti i differenti stati <math> |\psi_j \rang </math>. come si può vedere l'operazione è equivalente a prendere la traccia del prodotto tra &rho; e A:

:<math> \operatorname{tr}[\rho A]=\sum_j p_j \lang \psi_j|A|\psi_j \rang </math>

Le probabilità p_j sono non-negative e normalizzate. Per l'operatore densità questo significa che &rho; è un [[operatore positivo]] e che la traccia di &rho; è uguale a uno.

The density matrix (commonly designated by &rho;) is an operator acting on the [[Hilbert space]] of the system in question. For the special case

of a pure state, it is given by the [[projection operator]] of this

state. For a mixed state, where the system is in the

quantum-mechanical state <math> |\psi_j \rang </math> with probability p_j,

the density matrix is the sum of the projectors, weighted

with the appropriate probabilities (see [[bra-ket notation]]):

:<math> \rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j| </math>

The density matrix is used to calculate the expectation

value of any operator A of the system, averaged over the

different states <math> |\psi_j \rang </math>. This is done by taking the

trace of the product of &rho; and A:

:<math> \operatorname{tr}[\rho A]=\sum_j p_j \lang \psi_j|A|\psi_j \rang </math>

== Formulazione in termini di algebre C* ==

The probabilities p_j are nonnegative and normalized (i.e.

their sum gives one). For the density matrix, this means

that &rho; is a positive semidefinite [[hermitian operator]] (its [[eigenvalue]]s are nonnegative) and the trace of &rho;

(the sum of its eigenvalues) is equal to one.

E' ora in generale accettato che la descrizione della meccanica quantistica in cui tutti gli [[operatore autoaggiunto | operatori autoaggiunti]] rappresentino osservabili non è mantenibile.

== C*-algebraic formulation of density states ==

Gli osservabili sono oggi identificati con elementi di un'astratta [[algebra C*]] ''A'' e gli stati vengono rappresentati da [[funzionale| funzionali]] positivi su ''A''. In questo formalismo gli stati puri sono gli [[estremale| estremali]] dell'insieme confvesso degli stati. Si noti che attraverso la [[costruzione GNS]] è possibile recuperare lo spazio di Hilbert che realizza ''A'' come un'algebra di operatori.

It is now generally accepted that the description of quantum mechanics in which all [[self-adjoint operator]]s represent

observables is untenable. For this reason, observables are identified to elements of an abstract [[C*-algebra]] ''A'' (that is one without a distinguished representation as an algebra of operators) and states are positive linear functionals on ''A''. In this formalism, [[pure state]]s are [[extreme point]]s of the set of states. Note that using the [[GNS construction]], we can recover Hilbert spaces which realize ''A'' as an algebra of operators.

[[category:quantum mechanics]][[Category:functional analysis]]

[[de:Dichtematrix]]

[[en:Density matrix]]