Funzione a variazione limitata: differenze tra le versioni

Versione delle 21:34, 25 feb 2013

Versione delle 15:55, 6 ott 2014

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[[ImmagineFile:Sin x^-1.svg|thumb|La funzione <math>f(x)=sin(1/x), f(0)=0</math> ''non'' è a variazione limitata]]

In [[analisi matematica]], una branca della [[matematica]], una [[funzione di variabile reale]] si dice '''a variazione limitata''' se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo [[grafico di una funzione|grafico]] è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che ''non'' è a variazione limitata è il cosiddetto "[[seno del topologo]]", cioè

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se considerata in un qualsiasi [[intervallo (matematica)|intervallo]] che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di <math>x</math> a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una [[superficie (matematica)|superficie]] o una [[ipersuperficie]]), ma sarà ogni [[intersezione (insiemistica)|intersezione]] di tale grafico con un [[piano (matematica)|piano]] parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'[[integrale di Riemann-Stieltjes]] e nel [[calcolo delle variazioni]], poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di [[superficie minima]] come il [[problema di Didone]].

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==Esempi==

[[ImmagineFile:X^2sin(x^-1).svg|thumb|La funzione <math>f(x)=x^2 \sin (1/x)</math> è a variazione limitata]]

È già stato dato un esempio di funzione che ''non'' è a variazione limitata. La stessa funzione, però, ''è'' a variazione limitata in ogni intervallo <math>[\varepsilon,1]</math> ad esempio, con <math>\varepsilon > 0</math>, poiché la "[[singolarità (matematica)|singolarità]]" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del [[dominio (matematica)|dominio]].