Schema (matematica): differenze tra le versioni

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Versione delle 08:54, 4 lug 2013

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{{F|matematica|settembre 2012}}

In [[matematica]] uno '''schema''' è un concetto importante che connette i campi della [[geometria algebrica]], [[algebra commutativa]] e [[teoria dei numeri]]. Gli schemi sono stati introdotti da [[Alexander Grothendieck]] per generalizzare il concetto di [[varietà algebrica]] e taluni li considerano l'oggetto di base per lo studio della geometria algebrica moderna. Tecnicamente uno schema è uno [[spazio topologico]] insieme a degli [[anello commutativo|anelli commutativi]] per ognuno dei suoi aperti, che scaturisce dall'"incollamento" di [[spettro di un anello|spettri]] (spazi di [[ideale primo|ideali primi]]) di anelli commutativi.

== Storia e motivazioni ==

I geometri algebrici della scuola italiana hanno spesso usato un concetto abbastanza impreciso di "punto generico" dando degli enunciati sulle [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. Ciò che è vero per un punto generico è vero per ogni punto della varietà, tranne un piccolo numero di punti speciali. Negli [[Anni 1920|anni venti]] [[Emmy Noether]] ha suggerito per la prima volta un modo per chiarificare il concetto: cominciamo con l'anello delle coordinate della varietà (l'anello di tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà); gli [[ideale massimale|ideali massimali]] di questo anello corrispondono ai punti ordinari della varietà (sotto opportune ipotesi) e gli [[ideale primo|ideali primi]] non massimali corrispondono ai vari punti generici. Prendendo tutti gli ideali primi si ottiene una collezione di punti ordinari e generici. Noether non continuò il suo approccio.

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== Definizioni ==

Uno '''schema''' ''X'' è uno [[spazio localmente anellato]] con un ricoprimento di aperti ''U''_''i'' tali che la restrizione del fascio ''O''_''X'' ad ogni aperto ''U''_''i'' è isomorfo a [[spettro di un anello|Spec]] ''A''_''i'' in quanto spazi localmente anellati, ove ''A''_''i'' è un anello commutativo.

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== La categoria degli schemi ==

Gli schemi formano una categoria se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].

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== Tipi di schemi ==

{{S sezione|matematica}}

* Uno schema è '''localmente noetheriano''' se è ricoperto da spettri di [[Anello noetheriano|anelli noetheriani]]; equivalentemente, se tutti i suoi aperti affini lo sono.

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== ''O''_''X'' moduli ==

Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O_X''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O_X'' (Cf. [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O_X''-modulo). La categoria degli ''O_X''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].

== Bibliografia ==

*{{en}} {{cita libro| nome = Joe | cognome = Harris | titolo = The Geometry of Schemes | anno = 1998 | editore = Springer-Verlag |id = ISBN 0-387-98637-5}}

*{{en}} {{cita libro| nome = David | cognome = Mumford | titolo = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians | anno = 1999 | editore = Springer-Verlag | edizione = 2nd ed. |id = ISBN 3-540-63293-X}}

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