Distributività: differenze tra le versioni

Versione delle 10:48, 8 mar 2013

Versione delle 13:37, 4 ott 2013

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Dato un (insieme) ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che

* l'operazione * è ''distributiva a destrasinistra'' rispetto all'operazione + se, dati gli elementi ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'',

:<math>x*(y + z) = (x*y) + (x*z)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>

* l'operazione * è ''distributiva a sinistradestra'' rispetto all'operazione + se, dati gli elementi ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'':

:<math>(y + z)*x = (y*x) + (z*x)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.</math>

* l'operazione * è ''distributiva'' rispetto all'operazione + se è sia distributiva a destrasinistra che distributiva a sinistradestra.

Si osservi che quando * è [[commutatività|commutativa]], allora le tre condizioni precedenti sono [[equivalenza logica|logicamente equivalenti]].

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== Esempi ==

# In tutti gli insiemi [[Numero|numerici]] abitualmente considerati ([[numero naturale|numeri naturali]], [[numero razionale|numeri razionali]], [[numero reale|numeri reali]], [[numero complesso|numeri complessi]], ... [[numero cardinale|numeri cardinali]] ecc.) la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Ad esempio:

#:: <math>4 ·\times (2 + 3) = (4 ·\times 2) + (4 ·\times 3)</math>

#:Nel membro sinistro dell'espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta allo stesso risultato (20) diciamo che la moltiplicazione per 4 si distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che si può utilizzare qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'uguaglianza, si ha che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è distributiva rispetto all'[[addizione]] di numeri reali.

# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.

# Il [[prodotto vettoriale]] è distributivo rispetto all'addizione di due vettori, benché non sia commutativo.

# La [[moltiplicazione di matrici]] è distributiva rispetto alla [[somma di matrici]], anche se non è commutativa.

# L'[[unione (insiemistica)|unione]] di [[insieme|insiemi]] è distributiva rispetto all'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]], e l'intersezione è distributiva rispetto all'unione. Inoltre l'intersezione è distributiva rispetto alla [[differenza simmetrica]].

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Un anello ha due operazioni binarie (chiamate comunemente "+" e "*"), e uno dei requisiti per un anello è che * sia distributiva rispetto a +.

Molti tipi di numeri (esempio 1) e di matrici (esempio 34) formano anelli.

Un [[Reticolo (matematica)|reticolo]] è un altro tipo di [[struttura algebrica]] con due operazioni binarie, ^∧ e v∨.

Se una delle due operazioni (diciamo ^∧) è distributiva rispetto all'altra (v∨), allora anche v∨ deve essere distributiva rispetto a ^∧, e il reticolo è detto distributivo. Si veda anche la [[Teoria degli ordini#Strutture pi.C3.B9 ricche|teoria degli ordini]].

Gli esempi 4 e 5 sono [[algebra booleana|algebre booleane]], che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un [[anello booleano]]) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un [[reticolo booleano]]). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.

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Gli anelli e i reticoli distributivi sono entrambi tipi speciali di [[semianello|semianelli]], una generalizzazione degli anelli.

I numeri nell'esempio 1 che non formano anelli formano comunque semianelli.

I [[quasi-anellosemianello|quasi-anellisemianelli]] sono un'ulteriore generalizzazione dei semianelli, e sono distributivi a sinistra ma non distributivi a destra; l'esempio due2 è un quasianelloquasi-semianello.

== Generalizzazioni della distributività ==