Linearità (matematica): differenze tra le versioni

Versione delle 00:40, 31 mag 2013

Versione delle 22:28, 1 giu 2013

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:<math>f(a_1 x_1, \ldots, a_n x_n) = a_1 \ldots a_n f(x_1, \ldots, x_n) \qquad \forall a_1, \ldots a_n \in \mathcal K</math>

è detta ''[[Applicazione multilineare''|multilineare]]. Ad esempio, il [[prodotto scalare|prodotto scalare euclideo]] è una [[forma bilineare]].

== Equazioni lineari ==

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:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n - b = 0 </math>

dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita <math>\mathbf x = (x_1, \cdots, x_n)^T</math> è lineare se esisteesistono un [[vettore]] <math>\mathbf a = (a_1, \cdots, a_n)^T \in \mathcal{K}^n</math>, (dove <math>\mathcal K</math> è un [[Campo (matematica)|campo]]), e un elemento <math>b \in \mathcal K</math> per cui si può scrivere:

:<math>\mathbf a \cdot \mathbf x = b</math>

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Il simbolo <math>\cdot</math> denota il [[prodotto scalare]] ordinario definito sullo spazio <math>\mathcal K^n</math>.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di <math>\mathbf x</math>. Segnatamente, unUn'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo [[numeri razionali|razionale]] se sono razionali i coefficienti <math>a_1, \ldots, a_n, b</math>, o nel campo [[numeri reali|reale]] se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve;. adAd esempio, se <math>a_1 \ne 0</math>, l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

:<math>\begin{cases} x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right) \\ x_2 = t_2 \\ \vdots \\ x_n = t_n \end{cases}</math>

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=== Sistemi di equazioni ===

{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> ''m''x''di dimensione <math>n'' \times m</math>, il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognita nella ''j''-esima equazione. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere:

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>

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in particolare, lo spazio <math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0)</math> delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

:<math>A \mathbf x = \mathbf 0 \mbox{ e } A \mathbf y = \mathbf 0 \ \Rightarrow A (\lambda \mathbf x + \mu \mathbf y) = \mathbf 0 \qquad \mbox{ per ogni }forall \lambda, \mu \in \mathcal K</math>

Esiste un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] che mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice <math>A</math> con la risolubilità del sistema.